湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题+含答案

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湖北省荆州中学 2023-2024 学年第一学期期中考试试题
高二数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.
(3−2i)(1+2i)=¿
()
A.
7−4i
B.
7+4i
C.
−1+4i
D.
−1−4i
2.已知集合
A={x∨x − 2>0}
，
B={ x∨x2− x +m=0}
，若
，则 m的取值范围为()
A.
(− ∞ , −2)
B.
¿
C.
(− ∞ , 2)
D.
¿
3.如图，在三棱锥
P − ABC
中，
PA ⊥
平面 ABC，
AB⊥AC
，且
PD
⃗
=3DC
⃗
，则
BD
⃗
在
AC
⃗
方向上的
投影向量为()
A.
−3
4AC
⃗
B.
−2
3AC
⃗
C.
2
3AC
⃗
D.
3
4AC
⃗
4.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件
A=¿
“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件
B=¿
“恰有一枚骰子的
点数为偶数”，则()
A.
P(A)>P(B)
B.
P(A)<P(B)
C.A与B互为对立事件 D.A与B互为互斥但不对立事件
5.在
△ABC
中，
AB=1
，
BC=
√
5
，
cos A=5
6
，则
AC=¿
()
A.2 B.
5
2
C.
7
3
D.3
6.若
A(2,2,1)
，
B(0,0,1)
，
C(2,0,0)
，则点 A到直线 BC 的距离为()
A.
2
√
5
5
B.
√
30
5
C.
2
√
30
5
D.
√
5
5
7.定义在 R上的奇函数
f(x)
在区间
(0,+∞)
上单调递减，且
f(6)=0
，则不等式
xf (x − 4)<0
的解集为()
A.
(− ∞ , −2)∪(0,4)∪(10 ,+∞)
B.
(−2,0)∪(0,4)∪(10 ,+∞)
C.
(− ∞ , −2)∪(10 ,+∞)
D.
(−2,0)∪(4,10)
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
8.已知实数 x，y满足
2x − y +2=0
，则
√
¿¿
的最小值为()
A.
10+
√
13
B.
3
√
13
C.108 D.117
9.已知一组数据 x，
x+2
，
3x − 3
，
2x+1
，9的平均数为 6，则()
A.
x=3
B.
x=2
C.这组数据的第 70 百分位数为 7 D.这组数据的第 70 百分位数为
6.5
10.已知点
A(1,4 )
，
B(3,2)
，
C(2,− 1)
，若直线 l经过点 C，且 A，B到l的距离相等，则 l的方程可能是
()
A.
x+y − 1=0
B.
x − y − 3=0
C.
y+1=0
D.
x − 2=0
11.已知直线
l:(
√
3m+1)x −(m−
√
3)y −4=0
与圆
O:x2+y2=16
相交于 A，B两点，则
△OAB
的面积可
能为()
A.
2
√
3
B.4 C.
4
√
3
D.8
12.苏州博物馆
¿
图一
¿
是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的
几何体，其中上层
EFGH − NPQM
是正四棱柱，下层底面 ABCD 是边长为 4的正方形，E，F，G，H在
底面 ABCD 的投影分别为 AD，AB，BC，CD 的中点，若
AF=
√
5
，则下列结论正确的有()
A.该几何体的表面积为
32+8
√
2+4
√
6
B.将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为
36 π
C.直线 CP 与平面 ABF 所成角的正弦值为
√
6
3
D.点M到平面 BFG 的距离为
√
6
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.过点
M(
√
3,0)
作圆
C:x2+¿
的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为__________.
14.若直线
l1:ax+4y+7=0
与
l2:2 x − 3y − 1=0
垂直，则
a=¿
__________.
15.已知函数
f(x)=
√
3 sin (ωx+π
3)+sin(ωx − π
6)(ω>0)
，若函数
g(x)=f(x)−1
在
(0, π)
上恰有两个零点，
则
ω
的取值范围为__________.
16.如图，在正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，
AM =2MB
，N为
D D1
的中点，记平面 CMN 与平面
AD D1A1
的交线为 l，则直线 l与直线
A C1
所成角的余弦值为__________.
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线
l1:x+ay − a+2=0
与
l2:2 ax +(a+3)y+a −5=0.
(1)
当
a=1
时，求直线
l1
与
l2
的交点坐标;
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