天津市实验中学滨海学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题答案

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试卷第 1页，共 3页
2022-2023 学年度第二学期
高二年级期中检测数学试卷参考答案
一、单选题(每题 5分，共 60 分)
1． B 2． B 3．A 4．B 5．C 6． B
7．A 8． A 9．B 10．B 11．D 12．B
二、填空题(每题 5分，两个空的答对 1个3分，全对 5分，共 45 分.)
13．
4m / s
14．6 15．-6 16．
( )
1− + ，
17．
3k−
18．4；
19
20
或0.95 19．
e 2e 0xy− + =
20．720；
3
5
21．
21
ee

− +

，
三、解答题(共45 分)
22. （14 分）
解：（1）由题意可知，从这 10 名参赛选手中随机选择 4人组成搭档参赛共有
种
选法，
事件 A的选法共有
2 2 2 2
2 5 3 5
C C C C 40+=
种，
故
40 4
() 210 21
PA==
. …………………………5分
（2）由题意知 X的取值可能为
0,1,2,3,4
，…………………………6分
由于
1
40
4
55
CC
( ) ( 0,1,2,3,4)
C
kk
P X k k
−
= = =
，…………………………7分
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
1
42
5
21
10
21
5
21
1
42
…………………………12 分
( )
1 5 10 5 1
0 1 2 3 4 2
42 21 21 21 42
Ex= +  +  +  + =
…………………………14 分
23. （15 分）
解：（1）
( )
2
f x x ax b
= − +
…………………………2分
由题意，得
( )
( )
01
00
f
f
=
=
，解得
0;
1
b
c
=
=
…………………………4分
（2）由（1）得，
( ) ( )( )
20f x x ax x x a a
= − = −
由
( )
0 0 ,f x x x a
===得 或
…………………………6分
当
( ) ( ) ( )
,0 , 0,x a f x
 − + 时，
当
( ) ( )
0, 0;x a f x
时，
…………………………8分
故当
0a
时，函数
( )
fx
的单调增区间为
( ) ( )
,0 ,a− +和 ，
单调减区间为
( )
0,a
…10 分
试卷第 2页，共 3页
（3）函数
( ) ( )
3 2 2
12 1, 2
32
a
g x x x x g x x ax
= − + + = − +
，
( )
gx
在区间
( )
2, 1−−
内存在单调递减区间，即为
( )
0gx
在区间
( )
2, 1−−
有
解. …………………………12 分
即
220x ax− + 
在
( )
2, 1−−
内有解，
即
2
axx
+
在
( )
2, 1−−
有解 …………………………13 分
由
( )
22
2 2 2 2x x x
xx
+ − = − = −≤ 当且仅当 时取等号
所以，
22a−
. …………………………15 分
24．（16 分）
解：（1）因为
( )
2ln
1xa
fx xx
= − −
，
所以
( ) ( )
2lng x xf x x x a
= = − −
，
( )
0,x +
则
( )
2x
gx x
−
=
，…………………………1分
( )
gx
在区间
( ) ( )
0,2 , 0gx
；在区间
( ) ( )
2, , 0gx
+ 
，
所以
( )
gx
单调递减区间为（0，2），单调递增区间为
( )
2,
+
，…………………3分
极小值为
( )
2 2 2ln2ga= − −
，无极大值．…………………………4分
（2）（ i）
( )
lnh x x a x=−
有两个零点．
因为
( )
1a x a
hx xx
−
= − =
，
①当
0a
时，
( )
0hx
，
( )
hx
单调递增，不可能有两个零点；…………………6分
②当
0a
时，令
( )
0hx
，得
0xa
，
( )
hx
单调递减；
令
( )
0hx
，得
xa
，
( )
hx
单调递增，所以
( ) ( )
min lnh x h a a a a= = −
要使
( )
hx
有两个零点，即使
( )
0h a
，
ln 0,ln 1a a a a− 
，得
ea
，
又因为
( )
1 1 0h=
，
( )
e e 0ha= −
，所以
( )
hx
在（l，e）上存在唯一一个零点，
且
ea
，由（1）可知，
2ln 2 2ln2x x a a− −  − −
，
所以
2ln 2 2ln2 0xx−  −
，即有
2
2ln 0 e 0
a
a a a−   −
，即
( )
2
e e 0
aa
ha= −
，所以
( )
hx
在
( )
e,ea
上存也唯一一个零点，符合题意．………9分
综上，当
ea
时，函数
( )
hx
有两个零点． …………………………10 分
（ii）
( )
( )
( )
e ln e ln e 0 0
x x x
x a x x x a x x− + = − =
有两个实数解，令
ex
tx=
，
lny t a t=−
有两个零点
1
t
，
2
t
，
1
11
ex
tx=
；
2
22
ex
tx=
，所以
11
22
ln 0
ln 0
t a t
t a t
−=
−=
，
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