湖北省武汉市黄陂区第一高级中学2024届高三下学期模拟考试（三）数学 PDF版含解析（可编辑）

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黄陂一中 2024 届高三模拟考试（二）
数学试题
命题人：任燕午 审题人：詹才春 胡黎明
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合
 
2
2 5 0A x x x  N
，则
A
的子集个数为（ ）
A.4 B.7 C.8 D.16
2.复数
z
满足
i 1z
（
i
为虚数单位），则
4 3iz 
的最小值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知各项均为正数的等比数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且满足
6 4 5
,3 ,a a a
成等差数列，则
（ ）
A.3 B.9 C.10 D.13
4.学校安排含唐老师、李老师在内的 5 位老师去 3 个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选 1 个学校宣传，
且每个学校至少安排 1 人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有
（ ）
A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.60 种
5 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以 1 开头的数出现的频率较高，以 1 开头的数出现的频数约为总
数的三成，并提出定律：在大量
b
进制随机数据中，以
n
开头的数出现的概率为
Pb
(
n
)＝
1
logb
n
n
，如斐波那
契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大
数据的真实性.若
10
4
ln 6 ln 2
( ) ln 2 ln 5
k
n
P n
(
k
∈N＊，
k
＞4)，则
k
的值为
A.11 B.15 C.19 D.21
6． 已知 tan(α－
β
)＝
3
4
，sin(
α
－
β
)＝3cos(
α
＋
β
)，则 tan
α
－tan
β
＝
A.
1
2
B.
3
5
C.
6
5
D.
5
3
7． 设
P
－
ABCD
与
Q
－
ABCD
为两个正四棱锥，正方形
ABCD
的边长为
2
且∠
PCQ
＝90°，点
M
在线段
AC
上，且 3
CM
＝
AM
，将异面直线
PD
，
QM
所成的角记为
θ
，则 sin
θ
的最小值为
A.
5
3
B.
2
3
C.
3
3
D.
1
3
8.房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为 24cm×11cm×
5cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取 1 次后共可以得到 12cm×11cm×5cm，
11
24cm cm 5cm
2
 
，
5
24cm 11cm cm
2
 
三种不同规格的长方体.按照上述方式对第 1 次所截得的长方体进行第
{#{QQABaYAQggAoAJJAABgCAwXSCgKQkBACAIoOxBAAsAAAyRNABAA=}#}
2 次截取，再对第 2 次所截得的长方体进行第 3 次截取，则共可得到体积为 165cm³的不同规格长方体的个数为（ ）
A.8 B.11 C.12 D.10
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战 2024 年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运
动员在一次集训中 7 位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ）
A.平均数为 9.6 B.众数为 10 C.第 80 百分位数为 9.8 D.方差为
37
350
10.已知双曲线
C
：
2
21
3
y
x 
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，直线
l
：
 
1x my m  R
与
C
的左、右两支分别
交于
M
，
N
两点（点
N
在第一象限），点
0
1,
2
P y
 
 
 
在直线
l
上，点
Q
在直线
2
NF
上，且
1 2
QF PF∥
，则（ ）
A.
C
的离心率为 3 B.当
3m
时，
3 3
2
MN
C.
2 2
PF M NF P  
D.
2
QF
为定值
11.已知函数 f(x)＝ax2＋2x＋|x2＋ax＋1|(a∈R)，则
A.当 a＝－1 时，f(x)为增函数 B.若 f(x)有唯一的极值点，则 a＞0
C.当 a
－2 时，f(x)的零点为±1 D.f(x)最多有 2 个零点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.已知点 A，B，C，D 为平面内不同的四点，若
2 3BD DA DC 
 
，且
 
2,1AC  
，则
AB
________
13.在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
, ,abc
,
4cos
a b C
b a
 
．且
CACBAB tantantantantantan
，则
cos A
=________
14.已知椭圆
2 2
1 2
: 1, ,
4 3
x y
C F F 
为
C
的左､右焦点，
P
为
C
上的一个动点（异于左右顶点），设
1 2
F PF
的外接圆
面积为
1
S
，内切圆面积为
2
S
，则
1 2
2S S
的最小值为__________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 13 分）
设等差数列
 
n
a
的公差为
d
，记
n
S
是数列
 
n
a
的前
n
项和，若
5 3 15 2 3 8
20,S a S a a a 
.
（1）求数列
 
n
a
的通项公式；
（2）若
 
*
1
4
0, n
n
n n
S
d b n
a a
 
N
，数列
 
n
b
的前
n
项和为
n
T
，求证：
1
2
n
T n 
.
{#{QQABaYAQggAoAJJAABgCAwXSCgKQkBACAIoOxBAAsAAAyRNABAA=}#}
16.（15 分）
台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突
出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加
大广告投入、该公司近 5 年的年广告费
i
x
（单位：百万元）和
年 销 售 量
i
y
（单位：百万辆）关系如图所示：令
 
ln 1, 2, ,5
i i
v x i  
，数据经过初步处理得：
5
1
i
i
y
5
1
i
i
v
 
52
1
i
i
x x
 
52
1
i
i
y y
 
52
1
i
i
v v
 
5
1
i i
i
x x y y
 
 
5
1
i i
i
y y v v
 
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
现有①
y bx a 
和②
lny n x m 
两种方案作为年销售量
y
关于年广告费
x
的回归分析模型，其中 a，b，m，n
均为常数.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出 y关于 x的回归方程，并预测年广告费
为 6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆 200 元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研
发经费的投入，年研发经费为年广告费的 199 倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量
影响，设随机变量
服从正态分布
 
2
600,N
，且满足
 
800 0.3P
 
.在（2）的条件下，求该公司年净利
润的最大值大于 1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数
 
 
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
 
 
 
 
，回归直线
y a bx
中公式分别为
 
 
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
 
，
a y bx
； ②参考数据：
40.3 1.612 8.06 
，
403 20.1
，
ln 5 1.6
，
ln 6 1.8
.
17.（15 分）
如图，已知四棱台
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
1 1
3AB A B
，
AB CD∥
，
AD AB
，
6AB
，
9CD
，
6AD
，且
1 1 4AA BB 
，
Q
为线段
1
CC
中点，
（1）求证：
BQ∥
平面
1 1
ADD A
；
（2）若四棱锥
1 1
Q ABB A
的体积为
32 3
3
，求平面
1 1
ABB A
与平面
1 1
CDD C
夹角
的余弦值.
{#{QQABaYAQggAoAJJAABgCAwXSCgKQkBACAIoOxBAAsAAAyRNABAA=}#}
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