湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三数学独立作业（9) 答案

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1
2024届高三数学独立作业 9
总分：150 分 时间：120 分钟 命题人： 钟旭
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.
2023
2i
i
−=
（ ）
A．2 B．
2
C．5 D．
5
【答案】D
2. 已知集合
 
2
|2M y Z y x x=  = −
，
( )
 
lnN x y x= = −
，则
MN=
（ ）
A．
B．
C．
( )
 
1, 1−
D．
)
1,0−
【答案】B
【详解】
 
|0N x x=
， 而
( )
 
2
| 1 1M y Z y x= = − −
，因为
( )
2
1 1 1yx= − −  −
，故
 
1MN=−
，
故选：B.
3. 已知关于
x
的不等式
( )( 2) 0x a x− − 
成立的一个充分不必要条件是
11x− 
，则
a
的取值范围是
（ ）
A．
( , 1]− −
B．
( ,0)−
C．
[1, )+
D．
[2, )+
【答案】C
【详解】解：设
( )( )
 
| 2 0A x x a x= − − 
，
( )
1,1B=−
，
当
2a
时，不等式
( )( )
20x a x− − 
的解集为
( ) ( )
,2 ,a− +
，即
( ) ( )
,2 ,Aa= − +
，
当
2a=
时，不等式
( )( )
20x a x− − 
，即
( )
2
20x−
，则解集为
( ) ( )
,2 2,− +
，即
( ) ( )
,2 2,A= − +
，
当
2a
时，不等式
( )( )
20x a x− − 
的解集为
( ) ( )
, 2,a− +
，即
( ) ( )
, 2,Aa= − +
，
不等式
( )( )
20x a x− − 
成立的一个充分不必要条件是
11x− 
，
B
A
，所以
12a
或
2a=
或
2a
，
综上可得
1a
，即
[1, )a +
；故选：C.
{#{QQABBQQEogggAgBAAQhCQw04CEIQkAAACCoGgEAAIAIAyRNABAA=}#}
2
4. 已知非零向量
a
，
b
满足
| | 2b=
，
,3
ab
 =
，若
()a b a−⊥
，则向量
a
在向量
3ab+
方向上的投
影向量为（ ）
A．
43 ( 3 )
43 ab+
B．
2( 3 )
43 ab+
C．
4 43 ( 3 )
43 ab+
D．
4( 3 )
43 ab+
【答案】C
1
( 3 ) 1 3 1 2 4
2
a b a+ = +   =
,
1
| 3 | 1 9 4 6 1 2 43
2
ab+ = + +   =
向量
a
在向量
3ab+
方向上的投影向量为
( 3 ) 3 4
| | ( 3 )
43
| 3 || | | 3 |
a b a a b
a a b
a b a a b
+  + =+
++
5. 已知函数
( ) cos( )( 0,0 )f x x
 
= +  
图象的一条对称轴与一个对称中心的距离为
4
，当
取最小
值时，将
()fx
的图象向右平移
6
个单位长度得到函数
()gx
的图象，若函数
()gx
在区间
42
3
,




上是增函
数，则
的取值范围为
A．
,
62




B．
5
,
36




C．
2
,
33




D．
3
,
44




【详解】由题意可得函数
( )
fx
的周期
T
满足
4 2 4
T kT
+=
，所以
(2 1)
44
kT
+=
，解得
=4 2k
+
，当
0k=
时
取得最小值 2，则
( ) ( )
cos 2f x x φ=+
，将
()fx
的图象向右平移
6
个单位长度得到函数
()gx
的图象，可
得
( )
cos 2
63
g x f x x

  
= − = − +
  
  
，由
3
,42
x




，
27
2,
3 3 6
x
 
 

− +  + +


，函数
()gx
的图象在
区间
42
3
,




上是增函数，故
2
23
722
6
k
k
 
 
+  +
+  +
，解得
5
22
36
kk

 
+   +
，由
0


，当
0k=
时，
5
,
36




，故选：B.
6．已知定义在
R
上的函数
( )
fx
满足对任意实数
x
有
( ) ( ) ( )
21f x f x f x+ = + −
，若
( )
2y f x=
的图象关于
直线
1
2
x=
对称，
( )
12f=
，则
23
1
()
k
fk
=
=
（ ）
A．2 B．1 C．
1−
D．
2−
【答案】C
【详解】因为
( ) ( ) ( )
21f x f x f x+ = + −
，所以
( ) ( ) ( )
3 2 1f x f x f x+ = + − +
，
{#{QQABBQQEogggAgBAAQhCQw04CEIQkAAACCoGgEAAIAIAyRNABAA=}#}
3
从而可得
( ) ( )
3f x f x+ = −
，所以
( ) ( )
6f x f x+=
，所以函数
( )
fx
的一个周期为 6．
因为
( )
2y f x=
的图象关于直线
1
2
x=
对称，
所以
( ) ( )
1 2 1 2f x f x− = +
， 即函数
( )
fx
的图象关于直线
1x=
对称．
又
( )
12f=
，
( ) ( ) ( )
2 1 0f f f=−
，
所以
( ) ( )
2 0 1ff==
，所以
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 0 1, 4 1 2, 5 2 1, 6 0 1f f f f f f f f= − = − = − = − = − = − = =
，
所以
( ) ( ) ( )
1 2 6 0f f f+ ++ =
．由于 23 除以 6余5，
所以
23
1
( ) (1)
k
f k f
=
=+
(2) (5) (6) 1f f f+ + = − = −
．故选：C．
7. 已知
0.03
ea=
，
( )
ln 1.03eb=
，
1.06c=
，则（ ）
A．
c a b
B．
a c b
C．
bac
D．
abc
【答案】B
【详解】由题意
0.03
ea=
，
( ) ( )
ln 1.03e ln 1 0.03 1b= = + +
，
1.06 1 2 0.03c= = + 
，
下面先证明
e1
xx+
，设函数
( )
e1
x
xx
= − −
，则
( )
e1
x
x
=−
，
当
0x
时，
( )
0x
，
( )
x
在
( )
0,
+
内单调递增，
当
0x
时，
( )
0x
，
( )
x
在
( )
,0
−
内单调递减，
所以
( ) ( )
00x

=
，所以当
0x
时，
e1
xx+
，
设
( )
1 1 2f x x x= + − +
，
0x
，令
1 2 1tx= +
，则
21
2
t
x−
=
，
所以
( ) ( )
211
2
t
f x h t t
−
= = + − =
( ) ( )
2
101
2
tt
−
，
所以
1 1 2xx+  +
①，
所以
0.03
e 0.03 1 1 2 0.03 1.06 +  + =
，即
ac
．
再设
( ) ( ) ( )
ln 1 1 1 2 0g x x x x= + + − +
，
( ) ( )
( )
1 2 1
11
11 2 1 1 2
xx
gx xx x x
+ − +
= − =
++ + +
，
又由①知
( )
0gx
，所以
( )
gx
在
( )
0,
+
内单调递减，所以
( ) ( )
00g x g=
，
所以
( )
ln 1 1 1 2xx+ +  +
，
{#{QQABBQQEogggAgBAAQhCQw04CEIQkAAACCoGgEAAIAIAyRNABAA=}#}
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