浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题卷答案（高二）

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2023 学年第一学期宁波五校联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
命题：正始中学 陈碧文
审稿：正始中学 何卫华
选择题部分
一、单选题：本大题共 8小题，每个小题 5分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B
7.C 提示：由椭圆
2 2
1
25 16
x y
 
，得两个焦点分别
1( 3,0)F
，
2(3,0)F
．
由圆
2 2
( 3) 1x y  
，得圆心坐标为
( 3,0)
，半径为 1，又点
(6, 4)M
，
由椭圆的定义可知
1 2
| | | | 2 10PF PF a  
，
，
又
2 2
2
| | (6 3) (4 0) 5MF  
，
则
2 2
| | | | 11 | | | | 11 (| | | |)PQ PM PF PM PF PM  
2
11 | | 11 5 6MF  
，
| | | |PQ PM 
的最大值为 6．
8.C 提示：分别取
DE
，
DC
的中点
O
，
F
，点
A
的轨迹是以
AF
为直径的圆，以
OA
，
OE
为
x
，
y
轴，过
O
与平面
AOE
垂直的直线为
z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
( 2C
，1，
0)
，平面
ABCD
的其中一个法向量为
(0n
，0，
1)
，由
11A O
，设
1(cosA
，
0，
sin )
，
[0
，
2 )
，则
1(cos 2CA
 
，
1
，
sin )
，记直线
1
A C
与平面
ABCD
所成
角为
，则
2
1
1
| | | sin | 1
sin 4cos 6
| || | 4cos 6
CA n cos
CA n
 
，
令
3 1
cos [
2 2
t
 
，
5]
2
，
3 5 3 5 10 2
sin ( )
4 16 4 4 4 4
t
t
 
，
所以直线
1
A C
与平面
ABCD
所成角的正弦值最大为
10 2
4
．
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
二、多选题：本大题共 4小题，每个小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，
有多项是符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0
分.
9.BCD 提示：公切线方程为
0y
,
4
3
y x
,
2 5 0x y 
10.ABC
11.ACD 提示：过
A
作
AE CD
，垂足为
E
，则
2DE
，以
A
为坐标原点，分别以
AE
，
AB
，
AP
所在直线为
x
，
y
，
z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
(0B
，2，
0)
，
(4C
，2，
0)
，
(4D
，
2
，
0)
，
(0P
，0，
2)
，
(2M
，
1
，
1)
，
所以
(2BM
，
3
，
1)
，
(4PC
，2，
2)
，
(4BC
，0，
0)
，
(0BP
，
2
，
2)
，
(4AD
，
2
，
0)
，因为
2 4 ( 3) 2 1 ( 2) 0BM PC     
 
，所以
BM PC
，故
A
正确；
因为
cos BM
，
4 2 ( 3) ( 2) 70
10
| || | 14 2 5
BM AD
AD BM AD
 
 
 
 
，
所以直线
BM
与
AD
所成角的余弦值为
70
10
，故
B
错误；
设平面
PBC
的法向量为
(m x
，
y
，
)z
，
则
0
0
m BC
m BP
 
 
，即
4 0
2 2 0
x
y z
 
，令
1y
，得
(0m
，1，
1)
，
设直线
BM
与平面
PBC
所成角为
，则
sin | cos BM
，
7
| | | 7
| || |
BM m
mBM m
 
，
所以直线
BM
与平面
PBC
所成角的正弦值为
7
7
，故
C
正确；
设点
M
到直线
BC
的距离为
d
，则
2 2
| | | | 10
| |
BM BC
d BM BC
 
 
，
即点
M
到直线
BC
的距离为
10
，故
D
正确．
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
12.ABD 提示：由题意可知
2 2
0 0
4 4
x y
a b
取得最大值时，曲率半径
R
最大，取得最小值时，曲
率半径
R
最小，
点
0
(P x
，
0)y
在椭圆上，
2 2
0 0
2 2 1
x y
a b
 
，
2
2 2 0
02
(1 )
x
y b a
 
，
2 2
2
0 0
0
4 4 2 2 2 2
1 1 1 1
( )
x y x
a b b a a b
 
，
2 2
0
0x a 
，
2 2
1 1 0
a b
 
，
当
2
00x
时，
2 2
0 0
4 4
x y
a b
的最大值为
2
1
b
，
当
2 2
0
x a
时，
2 2
0 0
4 4
x y
a b
的最小值为
2
1
a
，
由曲率半径公式为
3
2 2
2 2 0 0 2
4 4
( )
x y
R a b a b
 
，可得曲率半径
R
的最大值为
2
a
b
，最小值为
2
b
a
，故
C
错误；
若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故
A
正确；
若某焦点在
x
轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为
c
（半焦距），则
2
bc
a
，
2 2 0a ac c 
，
2
1 0e e 
，
21 0e e  
，解得
5 1
2
e
或
5 1
2
e 
（舍去），
该椭圆离心率为
5 1
2
，故
B
正确；
若椭圆
2 2
2 2 1( 0)
x y a b
a b
 
上所有点相应的曲率半径最大值为 8，最小值为 1，
2
8
a
b
，
2
1
b
a
，解得
4a
，
2b
，
椭圆方程为
2 2
1
16 4
x y
 
，故
D
正确．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.
8 8 4
( , , )
9 9 9
14.
4
3
y x
或
2 11 0x y  
．
15.
7
提示：
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
AN CM AB AC AD AC 
 
2
1 1 1 1 1 1 7 9 7
4 4 2 2 2 2 2 2
AB AD AC AD AB AC AC  
     
 
16.
325
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
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