浙江省宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题参考答案

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高一数学学科 参考答案第（1）页/共 6页
2022 学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
D
A
B
A
C
二．选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
题号
10
11
12
答案
ABD
BC
AC
三、填空题：本题共 4小题，每题 5分，共 20 分.
13.
33
2
14.
14
15.
7
3
16.
（0，3）
四、解答题:本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解析：（1）
22
(2 ) ( ) 2a b a b a a b b  
……………2分
21 13
2 2 1
22
 
……………4分
(2)
 
222
2 2 4 4 19a b a b a a b b 
……………6分
 
222
22a b a b a a b b 
……………8分
令
a b a b2与
的夹角为
，即
 
13
213 19
2
cos 76
2 19
2
a b a b
a b a b

 

………10 分
18.解析：（1）因为
mn
，所以
sin 3 cos 0m n a B b A 
……………2分
即:
sin sin 3sin cos 0A B B A
……………4分
高一数学学科 参考答案第（2）页/共 6页
因为
sin 0,B
所以
sin 3cos 0AA
，即：
tan 3A
……………5分
又因为
0A

，所以
2
3
A
……………6分
（2）方法 1：由余弦定理可得：
2 2 2 2 cosa b c bc A  
……………8分
代入可得关于
c
的方程：
21 3( )2 3 0, cccc     解得： 或 舍
……………10 分
由三角形面积公式
1 1 3 3
sin 2 1
2 2 2 2
ABC
S bc A
 
……………12 分
方法 2： 由正弦定理可得：
sin 21
, sin
sin sin 7
a b b A
B
A B a
 即
……………8分
因为
2
3
A
，所以
1 2 7
cos ,0 ,cos
2 3 7
A B B
 
……………9分
所以
21
sin sin( ) sin cos cos sin 14
C A B A B A B  
……………10 分
由三角形面积公式
1 1 21 3
sin 7 2
2 2 14 2
ABC
S ab C
 
……………12 分
19.解析：（1）证明：连接 BD
，
由四边形 ABCD 为平行四边形
可知，连接 BD 必与 AC 相交于中点 G，
所以 G是DB 中点 ……………2分
又因为 H是线段 DF 的中点，故
//GH BF
. ……………4分
（2）当 P为线段 CD 中点时，有平面
//GHP
平面 BCF， ……………6分
证明：
GH
平面 BCF，
BF
平面 ABC，
//GH BF
//GH
平面 ABC ……………8分
又因为点
,PG
分别为
,CD BD
中点可得：
//PG BC
PG
平面 BCF，
BC
平面 BCF，
//PG
平面 BCF， ……………11 分
且
GH GP G
，故平面
//GHP
平面 BCF． ……………12 分
P
H
G
F
E
D
C
B
A
高一数学学科 参考答案第（3）页/共 6页
20.解析：方法 1：坐标法
（1）以 A为原点，AB 为x轴建立直角坐标系
可得：
(0,0), (4,0), (1,0), (2,2 3),A B N D
3
(4,2 3), (1, 3), (1, )
2
C M G
……………2分
所以，
3
(1, ), (4,2 3)
2
AG AC
……………4分
因为
3
1 2 3 4 0,
2
 
所以
//AG AC
由于
, , , ,AG AC A A G C有公共点 所以 三点共线
. ……………6分
(2)
Pt设（4, ）
，
0 2 3,t
(0, )PB t
……………7分
因为
3
2 2( 3, ) ( 6, 3 2 )
2
PM PN PG t t  
……………9分
所以
22
33
( ) 2 3 2( )
48
PM PN PB t t t  
……………11 分
即当
3
4
t时，
()PM PN PB
的最小值是
3
8
. ……………12 分
方法 2：基底化，以
 
,AB AD
为一个基底为例
（1）
1 1 1 1 1 1
( ) ( )
2 2 2 4 4 8
AG AM AN AD AB AD AB  
……………2分
1
)2
AC AD DC AD AB   
……………4分
因为
1
4
AG AC
,所以
//AG AC
由于
, , , ,AG AC A A G C有公共点 所以 三点共线
. ……………6分
（2）令
PB CB
，
01

……………7分
M
N
D
C
B
A
X
Y
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