湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含解析

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2024 年高二上学期数学月考试卷
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1. 已知向量 ，且 ，则实数 的值等于（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行得坐标的比相同，即可解得实数 的值.
【详解】由向量 ，且 得 ，
解得 .
故选：B.
2. 下列表达式化简结果与 相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可.
【详解】对于 A， ，不满足题意，故 A错误；
对于 B， ，满足题意，故 B正确；
对于 C， ，不满足题意，故 C错误；
对于 D， 结果与 的具体关系不确定，故 D错误.
故选：B.
3. 空间内有三点 ，则点 P到直线 EF 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出 ，得到直线 EF 的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】因为 ，所以直线 EF 的一个单位方向向量为 ．
因为 ，所以点 P到直线 EF 距离为 ．
故选：A
4. 已知 P（1，2）点为圆（x+1）2+y2=9 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为
A. x–y–3=0 B. x+y+3=0
C. x+y–3=0 D. x–y+3=0
【答案】C
【解析】
【分析】若 P（1，2）为弦的中点，则圆心与 P的连线与 AB 垂直，可得 AB 的斜率，即可写出 AB 的方
程.
【详解】圆（x+1）2+y2=9 的圆心坐标为 C（–1，0），又 P（1，2），∴ ，
则直线 AB 的斜率为–1，又∵直线 AB 过点 P，
∴以 P 为中点的弦 AB 所在直线方程为 y–2=–1（x–1），即 x+y–3=0．故选 C．
【点睛】本题主要考查了圆的弦的几何性质，直线方程的求法，属于中档题.
5. 某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，
《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（ 1）班与高二
（2）班抽到不同曲目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】理解题意，利用分步乘法计数原理和古典概型概率公式计算即得.
【详解】高二（1）班与高二（2）班分别从这五首曲目中任选一首作为表演节目的方法数有
种，
而要使两个班抽到不同曲目，可分步完成：
先让高二（1）班选一首有 5种方法，再由高二（2）班从余下的 4首曲目中选一首，有 4种方法，
由分步乘法计数原理，可知方法数有 种.
由古典概型概率公式，可得高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为 .
故选：D.
6. 如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的
直线 与圆 相切，与双曲线在第四象限交于一点 ，且有
轴，则离心率为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出 的坐标，由直线 与圆 相切于点 ，可求出 ，
， ， ，再由锐角三角函数得到 ，进而求出离心率.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
双曲线 中，令 ，解得 ，则 ，
由直线 与圆 相切于点 ，得 ，又
，
则 ， ，
于是 ，即 ，有 ，而 ，所以
.
故选：C
7. 设 ，两直线 与 垂直，则 的最大值为（
）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得 ，再代入 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为直线 与 垂直 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：A
8. 若等比数列 满足 ，则 （ ）
A. B. 1012 C. D. 1013
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