湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含解析

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2024 年高二上学期数学 12 月月考试卷
一、单选题（共 8小题，每小题 5分，共 40 分）
1. 在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的中项求解.
【详解】解：由等差数列的性质可知 ，
所以 ．
故选：A．
2. 直线 过点 ， ，则 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算直线的斜率，再求出直线的倾斜角.
【详解】由于 的斜率为 ，故倾斜角 满足 ，
又 ，从而 .
故选：D.
3. 已知向量 ， ，且 ，那么 （ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得 ，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可.
【详解】由向量 ， ，且 ，
得 ，则 ，则 .
故选：C
4. 已知圆 的圆心在 轴上且经过 两点，则圆 的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆 的标准方程是 ，将 代入求解即可.
【详解】解：由题意设圆 的标准方程是 ，
因为圆 经过 两点，
所以 ，解得 ，
所以圆 的标准方程是 ，
故选：A
5. 在平面直角坐标系 中，动点 到直线 的距离比它到定点 的距离
小2，则点 的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意知动点 到直线 的距离与它到定点 的距离相等，
由抛物线的定义知，点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以 ，点 的轨迹方程为 .
故选：B.
6. 已知 ，若圆 上存在点 满足
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点 的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于 的不
等式，解之即可得解.
【详解】设点 ，则 ， ，
所以 ，则 ，
所以点 的轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为 3，
由此可知圆 与 有公共点，
又圆 圆心为 ，半径为 2，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 ，
故选：A.
7. 经过椭圆 的左焦点 作倾斜角为 的直线 ，直线 与椭圆相交于
， 两点，则线段 的长为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得直线故直线 的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.
【详解】解：在 中， ， ，
所以 ，即 ，
故左焦点为 ，而 ，
故直线 的方程为 ，
联立 得 ，
，设 ， ，
由韦达定理得 ， ，
则由弦长公式得 ．
故选：B．
8. 已知数列 的通项公式 ，在其相邻两项 之间插入 个
，得到新的数列 ，记 的前 项和为 ，则使 成立
的 的最小值为（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析得 的项的情况，求出当 时和当 时的 ，找出
的最小值.
【详解】由题意得数列 的前 项依次为：
， 个 ， ， 个 ， ， 个 ， ， 个 ，
， ，
当 时，
，
当 时，
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