福建省南平市2022届高三5月质量检查数学试题参考答案
数 学 参考答案 第1页（共 9页）
南平市 2021-2022 学年高中毕业班第三次质量检测
数学参考答案及评分标准
说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数
的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5分，满分 40 分。
1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．A 7．D 8．C
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．ABC 10．BD 11．A B 12．A B D
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5分，满分 20 分。
13．
1
2
−
14．
3
3
15．
2 ln3−
16．
3
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：（1）选①，因为
( )( ) ( )
sin sin sina b A B c b C+ − = −
，由正弦定理，得
( )( ) ( )
a b a b c b c+ − = −
，所以
2 2 2
b c a bc+ − =
， ··········································· 3分
所以
( )
2 2 2 1
cos 0,π
22
b c a
AA
bc
+−
= = ，
，故
π
3
A=
. ······································· 5分
（1）选②，因为
2 2 cos 0b c a C− − =
，由正弦定理可得
2sin 2sin cos sinB A C C−=
，
所以，
( )
sin 2sin 2sin cos 2cos sinC A C A C A C= + − =
， ································· 3分
因为
( )
0,πC
，则
sin 0C
，可得
1
cos 2
A=
，
又
( )
0,πA
，故
π
3
A=
. ········································································ 5分
（1）选③，
2 2 2
cos cos sin sin 1 cosB C B C A+ + = +
，
则
2 2 2
2 sin sin sin sin 2 sinB C B C A− − + = −
，即
2 2 2
sin sin sin sin sinB C A B C+ − =
，
由正弦定理可得
2 2 2
b c a bc+ − =
， ······························································ 3分
由余弦定理可得
2 2 2 1
cos 22
b c a
Abc
+−
==
，
数 学 参考答案 第2页（共 9页）
又
( )
0,πA
，故
π
3
A=
. ·········································································· 5分
（2）在△ABC 中，由余弦定理得
2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= + −
，
因为 AC＝2，
23BC =
，
π
3
A=
，所以
2π
12 4 4 cos 3
AB AB= + −
，
解得 AB＝4或AB＝－2（舍）， ································································ 7分
因为△ACD 与△BCD 面积比为 3∶5，所以
3
2
AD =
，
在三角形 ACD 中，由余弦定理得
2 2 2 2 2
33π13
2 cos 2 ( ) 2 2 cos
2 2 3 4
CD AD AC AD AC A= + − = + − =
，
即
13
2
CD =
． ··················································································· 10 分
18. （本小题满分 12 分）
解：
（1）当
2n≥
时，由
11
n
n
an
an
++
=
，可得
2
1
2
1
a
a=
，
3
2
3
2
a
a=
，……，
11
n
n
an
an
−
=−
，
········································································································· 2分
所以
23
11 2 1
n
n
an
n
= =
−
， ···························································· 4分
当
=1n
时，
11a=
适合上式，从而
n
an=
． ················································ 5分
（2）由已知得
242
2−= nb n
，所以当
n
为偶数时，
24−= nbn
， ························ 6分
又
2112222
12 −−=−=
−）（ nnb n
，所以当
n
为奇数时，
21−= nbn
， ············· 7分
−
−
=为偶数
为奇数
nn
nn
bn,24
,21
，
20 1 2 3 20 1 3 19 2 4 20
( ) ( )S b b b b b b b b b b= + + + + = + + + + + + +
·············· 9分
]
2
2)110(10
10)22[(]
2
2)110(10
10)20[( −
+−+
−
+−=
································································································· 11 分
( 200 90) ( 220 90) 240= − + + − + = −
． ················································· 12 分
数 学 参考答案 第3页（共 9页）
19．（本小题满分 12 分）
（1）由题意得：
=55 0.1+65 0.2+75 0.4+85 0.15+95 0.15 75.5
=
，
······································································································· 3 分
∴
75.5
=
，∵
11.5
=
，
∴
( ) 0.6826
(75.5 87) 0.3413
22
PX
PX
− +
= = =
，
········································································································· 5分
（2）由题意知
( ) ( )
1
2
P X P X
= =≥
，.
所获赠话费
的可能取值为
10
，
20
，
30
，
40
，
60
， ·································· 6分
( )
1 3 3
10 2 4 8
P
= = =
，
( )
1 3 3 9
20 2 4 4 32
P
= = =
，
( )
1 1 1
30 2 4 8
P
= = =
，
( )
1 3 1 1 1 3 3
40 2 4 4 2 4 4 16
P
= = + =
，
( )
1 1 1 1
60 2 4 4 32
P
= = =
.
∴
的分布列为：
10
20
30
40
60
P
3
8
9
32
1
8
3
16
1
32
······································································································· 10 分
∴
3 9 1 3 1 45
( ) 10 20 30 40 60
8 32 8 16 32 2
E
= + + + + =
. ····························· 12 分
20．（本小题满分 12 分）
证明：
（1）因为底面
ABCD
是边长为
2
的正方形，所以
BDAC ⊥
， ···························· 1分
由
AB BC=
，
PBCPBA =
，
PB PB=
可得
PAB PCB△ △
，
从而
PCPA =
． ················································································ 3分
摘要：
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数学参考答案第1页（共9页）南平市2021-2022学年高中毕业班第三次质量检测数学参考答案及评分标准说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分。1．A2．D3．C4．B5．B6．A7．D8．C二、选...
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