北京市西城区2021-2022学年高二上学期期末考试 数学答案

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北京市西城区 2021—2022 学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 第 1页（共 6页）
北京市西城区 2021—2022 学年度第一学期期末试卷
高二数学参考答案 2022.1
一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）
（1）D
（2）C
（3）C
（4）D
（5）B
（6）A
（7）A
（8）B
（9）C
（10）B
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25 分）
（11）
2 2
( 1) 1x y  
（12）
0
（13）
45
3
（14）
2 3
1 1
( , ) ( , )
2 2
   
（15）① ③ ④
注：（13）、（14）题第一空 3 分，第二空 2 分；（15）题少解给 3 分，有错解不给分。
三、解答题（共 6小题，共 85 分）
（16）（共 10 分）
解：（Ⅰ）从
2
位女生，
4
位男生中选出
人参加垃圾分类宣传活动，
选择方法数为
3
6
C 20
． ………5分
（Ⅱ）没有女生入选的选择方法数为
3
4
C 4
， ………8分
所以至少有
1
位女生入选的选择方法数为
20 4 16 
． ………10 分
（17）（共 15 分）
解：（Ⅰ）以
D
为原点，
1
, ,DA DC DD
 
的方向分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系． ………1分
则
1(2,0, 2)A
，
(2,1, 0)E
，
(2, 3, 0)B
，
(0, 3, 0)C
，
1(0, 3, 2)C
．
所以
1(0,1, 2)A E  
，
1( 2, 0, 2)BC  
． ………4分
所以
1 1
1 1
1 1
10
cos , 5
| || |
A E BC
A E BC A E BC
 
 
   
． ………7分
所以直线
1
A E
与
1
BC
所成角的余弦值为
10
5
．
北京市西城区 2021—2022 学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 第 2页（共 6页）
（Ⅱ）因为
( 2, 2, 0)EC  
．
设平面
1
A EC
的法向量为
( , , )x y zm
，则
10,
0,
A E
EC
 
 
m
m
即
2 0,
2 2 0.
y z
x y
 
 
………9分
令
2y
，则
2, 1x z 
．
于是
(2, 2,1)m
． ………11 分
显然
1(0, 0, 2)DD
是平面
ABCD
的一个法向量． ………12 分
因为
1
1
1
1
cos , 3
| || |
DD
DD DD
 
m
mm
， ………15 分
所以二面角
1
A EC D 
的余弦值为
1
3
．
（18）（共 15 分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
c
．
由题意得
2 2 2
1,
3,
2
,
b
c
a
a b c
 
………3分
解得
2a
． ………4分
所以椭圆
C
的方程为
2
21
4
xy 
． ………5分
（Ⅱ）由
2
2
,
1
4
y x m
xy
 
 
得
2 2
5 8 4( 1) 0x mx m  
． ………7分
由
2 2
(8 ) 4 5 4( 1) 0m m
 
，解得
5 5m  
． ………8分
设
1 1
( , )A x y
，
2 2
( , )B x y
，则
1 2
8
5
m
x x  
． ………9分
设线段
AB
的中点为
D
，
则
1 2 4
2 5
D
x x m
x
 
，
5
D D
m
y x m  
． ………11 分
北京市西城区 2021—2022 学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 第 3页（共 6页）
“
| | | |PA PB
”等价于“
PD AB
”． ………12 分
所以
151
4
5
m
m
 
． ………14 分
解得
5
3
m 
，符合题意． ………15 分
所以
5
3
m 
．
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）设
AB
的中点为
O
，则
1
OA
OB
． ………2分
所以当
1
时，点
O
在曲线
C
上； ………3分
当
1
时，点
O
不在曲线
C
上． ………4分
（Ⅱ）以点
,A B
所在的直线为
x
轴，线段
AB
的垂直平分线为
y
轴，建立直角坐标系．
所以
( 1,0) , (1,0)A B
． ………6分
设曲线
C
上任意一点为
( , )P x y
，由题意知
| |
| |
PA
PB
． ………7分
所以
2 2
2 2
( 1)
( 1)
x y
x y
 
 
． ………8分
整理得
2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 0x y x
 
   
． ………10 分
经检验，曲线
C
的方程为
2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 0x y x
 
   
．
当
1
时，曲线
C
的方程化为
0x
． ………11 分
所以曲线
C
的形状是直线． ………12 分
当
1
时，曲线
C
的方程化为
2 2
2 2
2 2 2
1 4
( )
1 (1 )
x y
 
 
 
 
． ………14 分
所以曲线
C
的形状是以
2
2
1
( ,0)
1
为圆心,
2
2
1
为半径的圆． ………15 分
摘要：

北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案第1页（共6页）北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案2022.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）C（3）C（4）D（5）B（6）A（7）A（8）B（9）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）22(1)1xy（12）0（13）453（14）2311(,)(,)22（15）①③④注：（13）、（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题少解给3分，有错解不给分。三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共10分）解：（Ⅰ）从2...

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