北京市海淀区2022届高三一模数学试题参考答案

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1
海淀区 2021~2022 学年第二学期期中练习
高三数学参考答案 2022.03
一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
答案
B
A
C
B
D
A
C
C
A
B
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。
题号
（12）
（15）
答案
2；1
0a
π2
42
；
①②④
说明： 12题、14 题两空前 3后2；15 题全选对 5分，漏选 1个3分，漏选 2个2分，不选
0分。
三、解答题共 6小题，共 85 分。
（16）（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）
()fx
满足条件②和条件③.
由
( ) 2sin cos cos2f x x x A x
，
得
2
( ) sin2 cos2 1 sin(2 )f x x A x A x
 
,
π π
( ,tan )
22 A

  
所以
()fx
的最大值为
2
1A
.
由条件②：
()fx
的最大值为
2
，
得
2
12A
，得
1A
.
当
1A
时，
π
( ) 2sin(2 )
4
f x x
，
π
( ) 2
8
f
，满足条件③，
当
1A
时，
π
( ) 2sin(2 )
4
f x x
，
π
( ) 0
8
f
，不满足条件③，
所以，
()fx
满足条件②和③，且
π
( ) 2sin(2 )
4
f x x
.
（Ⅱ） 方法 1:
当
0xm
时，
π π π
22
4 4 4
xm  
,
2
因为
()fx
在区间
(0, )m
上有且只有一个零点，
所以
π
π22π
4
m  
，
得
3π7π
88
m
，
所以
m
的取值范围是
3π7π
( , ]
88
.
方法 2:
令
π
2π,
4
x k k  Z
，
得
1π
π,
28
x k k  Z
.
所以
()fx
的所有零点为
1π
π,
28
kkZ
，即
π3π7π
, , , ,
8 8 8
因为
()fx
在区间
(0, )m
上有且只有一个零点，
所以该零点为
3π
8
,
m
的取值范围是
3π7π
( , ]
88
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）在四棱柱
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，取棱 AD 中点为 O，
因为
11
AA A D
，所以
1
AO AD
.
又因为平面
11
A ADD
平面
ABCD
，且平面
11
A ADD
平面
ABCD
AD
，
所以
1
AO
平面
ABCD
.
所以
1
AO AB
.
因为底面
ABCD
是正方形，所以
AB AD
，
因为
1
AD AO O
，
所以
AB
平面
1
A AD
.
所以
AB
1
AD
，即
1
AD
AB
.
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
O xyz
，设
1
OA
长度为
a
，
因为正方形
ABCD
的边长
2AD
，
则
(0,0,0)O
，
(0, 1,0)A
，
(2, 1,0)B
，
(0,1,0)D
，
1(0,0, )Aa
，
1(2,2, )Ca
.
3
所以
(2,0,0)AB
，
1(0,1, )A D a
，
11 (2,2,0)AC
.
设平面
11
A DC
的法向量为
( , , )n x y z
，则
1
11
0,
2 2 0,
n A D y az
n AC x y
 
 
令
1z
，则
,y a x a  
，
于是
( , ,1)n a a
.
因为
AB
与平面
11
A DC
的所成角的正弦值为
21
7
，
所以
2
2 21
cos , 7
2 2 1
AB n a
AB n AB n a
 

，
所以
3a
，
所以
22
11
3 1 2AA AO AA  
.
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）早睡人群睡眠指数 25%分位数估计在第 3组，晚睡人群睡眠指数 25%分位数估计
在第 2组.
（Ⅱ）X的取值范围是
{0
，1，2，
3}
，
03
0
3
4 1 1
=0 5 5 125
P X C  
 
 
（ ）=
12
1
3
4 1 12
=1 5 5 125
P X C  
 
 
（ ）=
21
2
3
4 1 48
=2 5 5 125
P X C  
 
 
（ ）=
30
3
3
4 1 64
=3 5 5 125
P X C  
 
 
（ ）=
所以随机变量
X
的分布列为：
X
0
1
2
3
P
1
125
12
125
48
125
64
125
所以随机变量
X
的数学期望
1 12 48 64 12
0 1 2 3
125 125 125 125 5
EX       （ ）
.
（Ⅲ）这种说法不正确.
z
y
x
D
1
C
1
B
1
O
A
1
D
A
B
C
摘要：

1海淀区2021~2022学年第二学期期中练习高三数学参考答案2022.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BACBDACCAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案22；11（只需即可）①②④说明：12题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选2个2分，不选0分。三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）满足条件②和条件③.由，得,所以的最大值为.由条件②：的最大值为，得，得.当时，，，满足条件③，当时，，，不满足条件...

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