北京市海淀区2022-2023学年高三上学期数学期中数学试卷答案
高三年级（数学）参考答案 第1页（共6页）
海淀区2022—2023学年第一学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
A
D
B
C
A
D
二、填空题
（11）
5
（12）
(0,1) (1, )+
（13）答案不唯一，小于 1的实数均可
（14）2；
1−
或1 （15）2；
(0,2)
三、解答题
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）设等差数列
{}
n
a
的公差为
d
，
因为
25
3, 25aS==
,
所以
1
1
3,
54
5 25.
2
ad
ad
+=
+=
解得
11,
2.
a
d
=
=
所以
21
n
an=−
.
（Ⅱ）选择条件③.
因为
11, 3bq==
，
所以
1
3n
n
b−
=
.
因为
mk
ab=
,
即
1
2 1 3k
m−
−=
.
得
1
31
2
k
m
−+
=
.
因为
*
kN
,
1
3k−
为奇数，
1
31
k−+
为偶数，
高三年级（数学）参考答案 第2页（共6页）
所以
*
mN
.
可得
1
31
2
k
m
−+
=
.
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）
2
( ) 2sin( )cos( ) 2cos ( ) 1
4 4 4 4
f
− = − − + − −
2
2 2 2
2( ) 2( ) 1
2 2 2
= − + −
1=−
.
（Ⅱ）
( ) sin 2 cos2 2sin(2 )
4
f x x x x
= + = +
.
所以
()fx
的最小正周期为
2
2
T
= =
.
（Ⅲ）因为
0,
2
x
所以
5
2,
4 4 4
x
+
当
242
x
+=
，即
8
x
=
时，
()fx
取得最大值，
所以
()fx
在区间
[0, ]
2
上的最大值为
( ) 2
8
f=
；
当
5
244
x
+=
，即
2
x
=
时，
()fx
取得最小值，
所以
()fx
在区间
[0, ]
2
上的最小值为
( ) 1
2
f=−
.
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）
()fx
的定义域为 R.
2
'( ) 2f x x x=−
，令
'( ) 0fx=
，
12
0, 2xx==
.
x
( ,0)−
0
(0,2)
2
(2, )+
'( )fx
+
0
−
0
+
()fx
极大值
极小值
由表可得，
()fx
的单调递增区间为
( ,0),(2, )− +
；单调递减区间为
(0,2)
.
（Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知
44
( 1) , (0) 0, (2) , (3) 0
33
f f f f− = − = = − =
.
①当
( 1,2)m−
时，
4
( 1, ], ( ) 3
x m f x − −
，不符合题意；
②当
[2,3]m
时，
()fx
在区间
[ 1, ]m−
上的取值范围是
4
[ ,0]
3
−
，符合题意；
③当
3m
时，由
()fx
在区间
(2, )+
上单调递增可知
( ) (3) 0f m f=
，不符合题意.
综合上述，
[2,3]m
（19）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）在
ABD△
中，
75BAD =
，
45ABD =
,所以
60ADB =
.
由正弦定理：
sin sin
AD AB
ABD ADB
=
，得
sin 45 sin60
AD AB
=
，
高三年级（数学）参考答案 第3页（共6页）
所以，
2
sin45 212 4 6
sin60 3
2
AD AB
= = =
(km).
2 3 1 6 2
sin sin75 sin(45 30 ) ( )
2 2 2 4
BAD +
= = + = + =
,
所以
ABD△
的面积为
1 1 6 2
sin 12 4 6 36 12 3
2 2 4
ABD
S AB AD BAD +
= = = +
△
(
2
km
).
（Ⅱ）由
30BAC =
，
60ABC =
, 得
45CAD =
,
63AC =
.
在
ACD△
中由余弦定理，得
2 2 2 2
2 cos 36 3 16 6 2 6 3 4 6 60
2
CD AC AD AC AD CAD= + − = + − =
.
所以，
2 15CD =
(km).
即点 C, D之间的距离为
2 15 km
.
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）当
2a=
时，
( ) e 2sin
x
f x x=−
，
则
(0) 1f=
.
'( ) e 2cos
x
f x x=−
， 则
'(0) 1f=−
.
曲线
()fx
在
(0, (0))f
处的切线方程为
1yx= − +
.
（Ⅱ）当
1a=
时，记
( ) ( ) 2 e sin 2
x
g x f x x= − = − −
，
则
'( ) e cos
x
g x x=−
.
当
(0,x )
时，
0
e e 1,cos 1
xx =
,
所以
'( ) '(0) 0g x g=
.
所以
()gx
在
(0, )
上单调递增.
因为
(0) 1 0, ( ) e 2 0gg
= − = −
,
所以函数
( ) 2y f x=−
在区间
(0,)
上有且仅有一个零点.
（Ⅲ）设
( ) ( ) cos 2h x f x x= + −
e sin cos 2
xa x x= − + −
.
则
'( ) e cos sin
x
h x a x x= − −
.
设
( ) e cos sin
x
s x a x x= − −
.
则
'( ) e cos sin
x
s x x a x= − +
.
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高三年级（数学）参考答案第1页（共6页）海淀区2022—2023学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题题目12345678910答案BACBADBCAD二、填空题（11）（12）（13）答案不唯一，小于1的实数均可（14）2；或1（15）2；三、解答题（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为,所以解得所以.（Ⅱ）选择条件③.因为，所以.因为,即.得.因为,为奇数，为偶数，5(0,1)(1,)+1−(0,2){}nad253,25aS==113,54525.2adad+=+=11,2.ad==21nan=−11,3bq==13nnb−=mkab=12...
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