湘豫名校联考2024届高三下学期第三次模拟考试 数学 含解析

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湘豫名校联考
2024 届春季学期高三第三次模拟考试
数 学
注意事项：
1．本试卷共 6页。时间 120 分钟，满分 150 分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填
写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对
条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对
应的答题区域内。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知等差数列 的公差为 ，且 ，则 的值为
A．1980 B．1981 C．1982 D．1983
2．已知椭圆 E： 经过点 ，则 E的长轴长为
A．1 B．2 C．4 D．
3．已知 ， 是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若 ， ，则“ ”是“
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若 ，则 的值是
A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能
5．当 时， 的最大值是
A．2 B．C．0 D．
6．已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ， ，且离心率为 ，过点
的直线 l与C的一条渐近线垂直相交于点 D，则
A．B．C．2 D．3
7．若偶函数 的最小正周期为 ，则
A．B． 的值是唯一的
C． 的最大值为 D． 图象的一条对称轴为
8．已知实数 m，n满足 ，则 的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分，
9．在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩情况如下表：
班级 人数 平均分 方差
甲45 88 1
乙45 90 2
记这两个班的数学成绩的总平均分为 ，总方差为 ，则
A．B．C．D．
10 ．已知函数 定义域为 R且不恒为零，若函数 的图象关于直线 对称，
的图象关于点（0，1）对称，则
A．
B．
C． 是 图象的一条对称轴
D．（56，0）是 图象的一个对称中心
11 ．一般地，对于复数 （i为虚数单位，a， ），在平面直角坐标系中，设
，经过点
∠
的终边的对应角为 ，则根据三角函数的定义可知 ，
，因此 ，我们称此种形式为复数的三角形式， r称为复数 z的模， 称为
复数 z的辐角．为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合 的辐角 的值叫做辐角的主
值．已知复数 z满足 ， ， 为 z的实部， 为 z的辐角的主值，则
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C．
D． ．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．在 中， ， ．若 ，则 的面积为_
_______．
13．已知正四棱台 ABCD-EFGH 中， ，则该正四棱台内部能够放入的最大球体的半
径为________．
14．在龙年元宵节的一项无人机飞行表演中，将 7架不同的“焰火”无人机和架不同的“灯
光”无人机排成一列．已知每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火”无人机相邻，设这 7架“焰
火”无人机至少有5架连在一起的概率为 p，要使得 ，则 n的最小值为________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．
根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为 ，每局比赛的结果互不影响．
（1）经过 3局比赛，记甲的得分为 X，求 X的分布列和期望；
（2）若比赛采取 3局制，试计算 3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
16．（本小题满分 15 分）
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