北京市海淀区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题参考答案
高二数学参考答案 第1页 （共6页）
高二第一学期期末参考样题
数学 参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）
（1）C （2）A （3）B （4）D （5）A
（6）B （7）A （8）C （9）D （10）D
二、填空题（共 5小题，每小题 4分，共 20 分）
（11）
(1, 3)−
, 1 （12）1
（13）①②,
221
3
xy−=
或 ①③,
22
1
22
xy
−=
或 ②③,
22
1
33
xy
−=
（14）4 （15）②③
说明:（1）第 13 题共有三种正确的填写方法，只需填写其中一种. 只有在第一空填写的
条件下填对第二空才得满分，有一空不填或两空所填内容不匹配的均得 0分；
（2）第 15 题不填或填写含有①的得 0分，仅填写②或③的得 2分，填写②③的得满分.
三、解答题（共 4小题，共 40 分）
（16）（共 8分）
解：
（Ⅰ）设圆 O的方程为
2 2 2
x y r+=
， ……………………………………1分
将点 M的坐标代入圆 O的方程得
2
13r+=
，即
2r=
. ………………………………2分
所以圆 O的方程为
22
4xy+=
. ………………………………………………3分
（Ⅱ）圆心 O到直线
3 2 0xy+ − =
的距离为
21
31
d==
+
, ………………5分
所以
22
||
( ) 4
2
AB
d+=
. …………………………………………………………7分
所以
2
| | 12AB =
，
| | 2 3AB =
. ………………………………………………8分
（17）（共 11 分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱
1 1 1
ABC A B C−
中，侧面
11
ACC A
为平行四边形.
高二数学参考答案 第2页 （共6页）
所以
11
//AC AC
. ……………………………………………………………………1分
因为
AC
平面
11
AC M
,
11
AC
平面
11
AC M
,
所以
11
//AC AC M平面
. ………………………………………………………………3分
（Ⅱ）在直三棱柱
1 1 1
ABC A B C−
中, 侧棱
1
CC ⊥
平面
1 1 1
A B C
.
所以
1 1 1
CC AC⊥
.
因为
AC BC⊥
, 且
11
//AC AC
，
11
//BC B C
，所以
1 1 1 1
AC B C⊥
.
因为
1 1 1 1
CC B C C=
, 所以
1 1 1 1
AC BB C C⊥平面
. ……………………………………4分
又因为
11
CM BB C C平面
，所以
11
AC CM⊥
. ……………………………………5分
因为
1
BB BC⊥
,
BC BM=
, 所以
45CMB =
.
同理
11
45C MB =
, 所以
190CMC =
.
即
1
CM C M⊥
. …………………………………………………………………………6分
因为
1 1 1 1
AC C M C=
, 所以
11
CM AC M⊥平面
. ……………………………………7分
（Ⅲ）由题意可知
1
,,CA CB CC
两两垂直, 故以
C
为
原点，以
1
,,CA CB CC
所在的直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
C xyz−
. 由题得
11
(0,0,0), (1,0,2), (0,1,2), (0,1,1)C A B M
.
所以
(0,1,1)CM =
,
1(0,0,1)MB =
,
11 ( 1,1,0)AB =−
.
由（Ⅱ）知
11
CM AC M⊥平面
，所以平面
11
AC M
的
一个法向量为
(0,1,1)CM==m
. ………………………………………………8分
设平面
11
A MB
的一个法向量为
( , , )x y z=n
.
x
z
y
A
1
B
1
M
B
A
C
1
C
高二数学参考答案 第3页 （共6页）
得
1 1 1
,MB A B⊥⊥nn
,即
1
11
0,
0
MB
AB
=
=
n
n
. ………………………………………………9分
得
0,
0
z
xy
=
− + =
.
令
1x=
，得
1y=−
，所以
(1,1,0)=n
. ………………………………………………10 分
可得
1
cos , | || | 2
= =
mn
mn mn
.
又因为二面角
1 1 1
C A M B−−
的平面角为锐角,
所以二面角
1 1 1
C A M B−−
的大小为
3
. ………………………………………………11 分
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）由题意可知
1
,,CA CB CC
两两垂直, 故以
C
为原点，
以
1
,,CA CB CC
所在的直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建
立如图所示的空间直角坐标系
C xyz−
.
由题得
11
(1,0,2), (0,0,2), (0,1,1)A C M
.
所以
11 ( 1,0,0)AC =−
，
1( 1,1, 1)AM = − −
，
(0,1,1)CM =
…………………………………………………………………………4分
设平面
11
AC M
的一个法向量为
( , , )x y z=m
.
得
1 1 1
,AC A M⊥⊥mm
,即
11
1
0,
0
AC
AM
=
=
m
m
. ……………………………………5分
得
0,
0
x
x y z
=
− + − =
.
则
0x=
，令
1y=
，得
1y=
，所以
(0,1,1)=m
, ……………………………………6分
因为
//CMm
，所以
11
CM AC M⊥平面
. …………………………………………7分
（Ⅲ）设平面
11
A MB
的一个法向量为
( , , )x y z=n
.
x
z
y
A
1
B
1
M
B
A
C
1
C
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高二数学参考答案第1页（共6页）高二第一学期期末参考样题数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）D（5）A（6）B（7）A（8）C（9）D（10）D二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）,1（12）1（13）①②,或①③,或②③,（14）4（15）②③说明:（1）第13题共有三种正确的填写方法，只需填写其中一种.只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分，有一空不填或两空所填内容不匹配的均得0分；（2）第15题不填或填写含有①的得0分，仅填写②或③的得2分，填写②③的得满分.三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共8分）解：（Ⅰ...
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作者：envi
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