北京市房山区2022届高三下学期第一次模拟测试 数学题及答案

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2022 北京房山高三一模
数 学
本试卷共 6页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将
答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， 则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 （ ）
（A）5（B）3
（C）5－4i （D）3－4i
（3）若 ，且 则下列不等式一定成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）若 的展开式中的常数项为 ，则 （ ）
（A）2（B）－2
（C）1（D）－1
（5）已知 为抛物线 上一点， 到抛物线的焦点的距离为 4，到 轴距离为 3，则 （ ）
（A） （B）1（C）2（D）4
（6）在等差数列 中， ， 则 （ ）
（A） （B）9（C）10 （D）25
（7）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为 ，
其中 表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以 1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ）
（A）2600 （B）2700 （C）26 （D）27
（8）已知函数 ，则“ ”“是 为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知直线 被圆 所截的弦长不小于 2，则下列曲线中与直线 一定有公共点的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知 是非空数集，若非空集合 满足以下三个条件，则称 为集合 的一种真分拆，并规定
与 为集合 的同一种真分拆．
① ；
② ；
③ 的元素个数不是 中的元素．
则集合 的真分拆的种数是（ ）
（A）5（B）6（C）10 （D）15
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。
（11）若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 _______．
（12）已知 是单位向量， ，且 ，则 _______；_______．
（13）将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则 _____；若 在区
间 上的最小值为 ，则 的最大值为_____．
（14）函数 的图象在区间 上连续不断，能说明“若 在区间 上存在零点，则 ”
为假命题的一个函数 的解析式可以为 ______．
（15）如图，正方体 的棱长为 2，点 为底面 的中心，点 在侧面 的边界及其内部运
动．给出下列四个结论：
① ；
② 存在一点 ， ；
③ 若 ，则 面积的最大值为 ；
④ 若 到直线 的距离与到点 的距离相等，则 的轨迹为抛物线的一部分．其
中所有正确结论的序号_________．
三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
如图，在三棱柱 中， 平面 ， ．
（I）求证： 平面 ；
（I）若 ，求：
① 与平面 所成角的正弦值；．
② 直线 与平面 的距离、
（17）（本小题 14 分）
在 中，， ．
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得 存在且唯一，求 的面积．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 边上的高为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题 14 分）
良好的生态环境是最普惠的民生福祉，北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气
主要污染物浓度持续下降．2021 年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破，
下表是 2021 年每个月空气质量优良和污染的天数统计．
月份 1月2月3月4月5月6月7月8月9月10 月11 月12 月合计
空气质量优良天数24 18 11 27 23 21 26 29 27 29 23 30 288
空气质量污染天数7 10 20 3 8 9 5 2 3 2 7 1 77
（Ⅰ）从 2021 年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（Ⅱ）从 2021 年的 4月、6月和 9月中各任选大，设随机变量 表示选出的 3天中空气质量优良的天数，求 的
分布列；
（Ⅲ）在 2021 年的 1月、3月、5月、7月、8月、10 月、12 月中，设空气质量优良天数的方差为 ，空气质量污
染天数的方差为 会．试判断，之的大小关系．（结论不要求证明）
摘要：

2022北京房山高三一模数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（）（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（）（A）5（B）3（C）5－4i（D）3－4i（3）若，且则下列不等式一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）（4）若的展开式中的常数项为，则（）（A）2（B）－2（C）1（D）－1（5）已知为抛物线上一点，到抛物线的焦点的距离为4...

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