北京市房山区2022届高三下学期第一次模拟测试 数学答案

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高三数学一模参考答案 1/8
房山区 2022 年高考第一次模拟考试参考答案
高三年级数学学科
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
C
D
C
B
D
A
C
A
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）
2
（12）
1; 3
2
（13）
5
sin(2 );
3 6
x 
（14）答案不唯一，如
2
( 1)x
（15）①③
三、解答题共 6 小题，共 85 分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
（Ⅰ）在三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中，四边形
1 1
AACC
为平行四边形.
所以
. ............................................2
因为
AC
平面
1 1
BAC
，
1 1
A C
平面
1 1
BAC
，
所以
AC
//平面
1 1
BAC
............................................2(4)
（Ⅱ）
因为
1
BB
平面
ABC
，
,AB BC
平面
ABC
，
所以
1 1
,BB AB BB BC 
.
又AB⊥BC，
所以
1
, ,AB BB BC
两两互相垂直.
如图建立空间直角坐标系
B xyz
，...................................................................1(5)
则
(1 0 0)A，，
,
1(0,1, 0)B
,
1(0,1,1)C
,
1(11 0)A，，，
(0,0,0)B
.
所以
1(1,1,0)BA
，
1(0,1,1)BC
,
1(0,1,0)AA
...........................................6(6)
设平面
1 1
BAC
的法向量为
( , , )x y zn
，则
1
1
0
0
BA
BC
 
 
n
n
，即
0,
0.
x y
y z
 
 
令
1x
，则
1, 1y z 
.于是
(1, 1,1) n
................................................3（9）
①设直线
1
AA
与平面
1 1
BA C
所成的角为θ，则
1
1
1
sin cos , AA
AA AA
 
n
n
n
2 2 2
(0,1,0) (1, 1,1) 3
3
1 1 1 ( 1)
 
 
 
..............2（11）
所以
1
AA
与平面
1 1
BAC
所成角的正弦值为
3
3
．
高三数学一模参考答案 2/8
②因为
AC
//平面
1 1
BAC
，
所以直线
AC
与平面
1 1
BAC
的距离就是点
A
到平面
1 1
BAC
的距离................1（12）
设
1 1
A BAC到面
的距离为
h
，则
1(0,1,0) (1, 1,1) 3
3
3
AA
h
 
 
n
n
.............................................2（14）
（17）（本小题 14 分）
（Ⅰ）由正弦定理
B
b
A
a
sinsin
及
BaAb cossin
，.......................................2
得
BaBa cossin
.
所以
1tan B
.………...…………..………...…………… ………...……………2
因为
00 1800 B
，
所以
0
45B
. .………...…………..………...…………..………...…………… …1（5）
（Ⅱ）选择条件①②，
ABC
存在且唯一，解答如下：
由
2
1
cos A
，及
00 1350 A
，得
0
120A
. …...….………...……1（6）
由正弦定理
B
b
A
a
sinsin
及
2b
，
得
00 45sin
2
120sin
a
，解得
3a
. .………...…………...…..………...……3 （9）
方法 1： 由
0
180CBA
，得
0
15C
.
）（123
4
2
4
6
2
1
2
2
2
3
2
2
30sin45cos30cos45sin
)3045sin(15sinsin
0000
000
C
所以
4
33
4
26
23
2
1
sin
2
1
CabS ABC
. ..……2（14）
方法 2：由余弦定理
2 2 2 2 cosa b c bc A  
，得
21
3 2 2 2 ( )
2
c c  
即
22 1 0c c  
，解得
6 2
2
c
所以
4
33
2
2
)
2
26
(3
2
1
sin
2
1
BacS ABC
高三数学一模参考答案 3/8
选择①③，
ABC
存在且唯一，解答如下：
由
2
1
cos A
，及
00 1350 A
，得
0
120A
. .………...……1（6）
因为
AB
边上的高为
2
6
，所以
2
2
3
2
6
sin A
h
b
. .………...……2 （8）
由正弦定理
B
b
A
a
sinsin
及
2b
，
得
00 45sin
2
120sin
a
，解得：
3a
. ..………...…….………...……3 （9）
（以下与选择条件①②相同）
（18）（本小题 14 分）
（Ⅰ）记事件
A
为 “从 2021 年中任选 1 天，这一天空气质量优良” ,
则
288
( ) 365
P A
.……………...………………...………………...………………4
（Ⅱ）
X
的所有可能取值为
0,1, 2, 3
.……………...………………...…………1
方法 1：记事件
B
为 “从 4 月任选 1 天，这一天空气质量优良”，
事件
C
为 “从 6 月任选 1 天，这一天空气质量优良”,
事件
D
为 “从 9 月任选 1 天，这一天空气质量优良”.
由题意知，事件
, ,B C D
相互独立，
且
27 9
( ) ( ) 30 10
 P B P D
,
21 7
( ) =
30 10
P C
.……...……………...….………………..………2
所以
1 3 1 3
( 0) ( ) ( ) ( ) ( )=10 10 10 1000
  P X P BCD P B P C P D
.…………………...…………1
( 1) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( )P X P BCD BCD BCD P B P C P D P B P C P D P B P C P D  （ （ （
9 3 1 1 7 1 1 3 9 61
10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000
     
....………………...…………1
( 2) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( )P X P BCD BCD BCD P B P C P D P B P C P D P B P C P D  （ （ （
9 7 1 9 3 9 1 7 9 369
10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000
     
....………………...………………………...1
9 7 9 567
( 3) ( ) ) ( ) ( ) 10 10 10 1000
（  P X P BCD P B P C P D
....………………...…………1
方法 2：
3 9 3 3
( 0) =
30 30 30 1000
P X  
   
.
27 9 3 3 21 3 3 9 27 61
( 1) 30 30 30 1000
P X       
 
 
.
27 21 3 27 9 27 3 21 27 369
( 2) 30 30 30 1000
P X    
 
 
.
摘要：

高三数学一模参考答案1/8房山区2022年高考第一次模拟考试参考答案高三年级数学学科一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910BACDCBDACA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）2（12）1;32（13）5sin(2);36x（14）答案不唯一，如2(1)x（15）①③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（Ⅰ）在三棱柱111ABCABC中，四边形11AACC为平行四边形.所以11//ACAC.............................................2因...

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