北京市东城区2022届高三下学期二模考试数学试题含答案

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2022 北京东城高三二模

数学

2022．5

本试卷共 6页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将

本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共 40 分）

一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合，则

（A）（B）

（C）（D）

（2）已知，则的大小关系为

（A）（B）

（C）（D）

（3）在的展开式中，第 4项的系数为

（A）（B）80 （C）（D）10

（4）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为

（A）（B）

（C）（D）

（5）《周髀算经》中对圆周率 π有“径一而周三”的记载．已知圆周率 π小数点后 20 位数字分别为 14159 26535

89793 23846．若从这 20 个数字的前 10 个数字和后 10 个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概

率为

（A）（B）（C）（D）

（6）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点．若的一条渐近

线方程为，则

（A）（B）（C）（D）

（7）已知，则“ ”是“ ”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

 

, 2 2 3 0U A x x x  一一R

UAð

 

1 3x x  

 

1 3x x  

 

1 3x x x -或

 

1 3x x x  或

log 3, ln , ea b c





  

, ,abc

b c a  b a c 

c b a  c a b 

(1 2 )x一

8010

cos 2( )

y x 

sin2y x

sin2y x 

cos2y x

cos2y x 

100

2 2

: 1( 0, 0)

x y

C a b

a b

   

C C

3 4 0x y 

1 2

2 1

F F

PF PF 



 

R

sin( ) sin 2

  

 

2 ( )k k

  

   Z

（8）已知点在直线上，则当变化时，实数的范围为

（A）（B）

（C）（D）

（9）已知等差数列与等比数列的首项均为，且，则数列

（A）有最大项，有最小项（B）有最大项，无最小项

（C）无最大项，有最小项（D）无最大项，无最小项

（10）如图，已知正方体的棱长为 1，则线段上的动点到直线的距离的最小值为

（A）1（B）

（C）（D）

第二部分（非选择题共 110 分）

二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分．

（11）已知复数满足，则 ________；________．

（12）已知向量满足，且，则 ________．

（13）已知抛物线，为上一点，轴，垂足为，为的焦点，为原点．若

，则 ________．

（14）已知奇函数的定义域为，且，则的单调递减区间为________．满足以上条件的一个

函数是________．

（15）某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限，劳累程度，劳动动机

相关，并建立了数学模型．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论:

① 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；

② 甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；

③ 甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；

④ 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题共 6小题，共 85 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

（16）（本小题 13 分）

在中，．

（I）求；

（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的

值．

(cos ,sin )P

 

3 0ax y - +



[ 2 2, 2 2]

( , 2 2] [2 2, )   

 

3,3

( , 3] [3, )   

 

3 4 4

1, 8a a b 

 

n n

a b

1 1 1 1

ABCD A B C D-

1 1

A C

1 i 3 i( )z -

z

, ,a b c

0a b c  

| | 1, 0a a b  

a c 

 

: 2 0C y px p 

PQ x

C O

45POQ  

cos PFQ 

( )f x

( ) 0

f x





( )f x

 

0r r 

 

0 1T T 

 

1 5b b 

0.14

10 10

E T b



  

ABC△

cos cos 2 cosa B b A c C 

C

ABC△c

sinA

条件①:，边上中线的长为；

条件②:，的面积为 6；

条件③:，边上的高的长为 2．

注:如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题 13 分）

某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了 100 名男生和 100 名女生的视力数据，分

别计算出男生和女生从小学一年级（2010 年）到高中三年级（2021 年）每年的视力平均值，如下图所示．

（I）从 2011 年到 2021 年中随机选取 1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；

（Ⅱ）从 2010 年到 2021 年这 12 年中随机选取 2年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平

均值，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）由图判断，这 200 名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）

（18）（本小题 14 分）如图，平面平面，，分别为的中点，

．

（I）设平面平面，判断直线与的位置关系，并证

明；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

（19）（本小题 15 分）已知．

（I）当时，求曲线在点处的切线方程；

2 2a

6b=

ABC△

cos 10

B 

PAC 

ABC

AB BC

, ,AB BC D O

,PA AC

8, 5AC PA PC  

PBC 

BOD l

BOD

( ) ln ( )

f x x a x a

   R

1a

 

y f x

 

1, 1f

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摘要：

2022北京东城高三二模数学2022．5本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）已知，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，第4项的系数为（A）（B）80（C）（D）10（4）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（A）（B）（C）（D）（5）《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载．已知圆周率π小数...

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