浙江省台州市2023-2024学年高一上学期1月期末考试 数学 含答案

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台州市 2023 学年第一学期高一年级期末质量评估试卷
数学 2024.1
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．若幂函数
f
(
x
)
=xx
的图象过点
(
4,2
)
，则
f
(
3
)
的值为
A．
1
9
B．
❑
√
3
3
C．
3
2
D．
❑
√
3
2．函数
的定义域是
A．
(
1,+∞
)
B．
¿
C．
(
− ∞ , 1
)
∪
(
1,+∞
)
D．
R
3．下列函数在其定义域上单调递增的是
A．
f
(
x
)
=−1
x
B．
f
(
x
)
=
(
1
2
)
x
C．
f
(
x
)
=log2x
D．
f
(
x
)
=tan x
4．若
a>0
，
b>0,
，
a+b=1
，则
A．
1
a+1
b≤1
B．
4ab ≤ 1
C．
a2+b2≥1
D．
❑
√
a+❑
√
b ≤1
5．下列四组函数中，表示同一函数的是
A．
y=
|
x
)
, u=❑
√
v2
B．
y=ln x2, s=2 ln t
C．
y=x2−1
x −1, m=n+1
D．
y=sin
(
x+π
2
)
, y=−cos x
6．已知
tan
(
α+β
)
=−2
,
tan
(
α − β
)
=7
，则
tan2 α=¿
A．
1
3
B．
−1
3
C．
9
13
D．
−9
13
7．已知
lg2≈0.3010
，若
2n
(
n∈N
)
是10 位数，则
n
的最小值是
A．29 B．30 C．31 D．32
8．已知函数
fi
(
x
)
=1
mi
❑
√
2πe
−
(
x− ni
)
2
2mi
2
(
mi, ni∈R , i ∈{1,2,3}
)
部分图象如图所示，则
A．
m1=m2, n1>n2
B．
m1>m2, n1=n2
C．
m3>m1, n3>n1
D．
m3>m2, n3>n2
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知
a>b>c>0
，则
A．
a+c>b+c
B．
ac >bc
C．
a
a+c>b
b+c
D．
ax<bc
10．已知函
f
(
x
)
=sin
(
x+π
4
)
cos
(
x+π
4
)
+sin xcos x
,则
A．函数
f
(
x
)
的最小正周期为
2π
B．点
(
−π
8,0
)
是函数
f
(
x
)
图象的一个对称中心
C．函数
f
(
x
)
在区
[π
8,5π
8]
单调递减 D．函数
f
(
x
)
的最大值为 1
11．定义域均为
R
的奇函数
f
(
x
)
和偶函数
g
(
x
)
，满足
f
(
x
)
+g
(
x
)
=2x+cos x
，则
A．
∃x0∈R
，使得
f
(
x0
)
=m ,m ∈R
B．
∃x0∈R
，使得
g
(
x0
)
=0
C．
∀x∈R
，都有
f
(
x
)
− g
(
x
)
<1
D．
∀x∈R
，都有
f
(
x
)
g
(
x
)
+f
(
− x
)
g
(
− x
)
=0
12．设
n
是正整数，集合
A={α∣α=
(
x1, x2,⋯, xn
)
, xi∈{−1,1},i=1,2,⋯,n }
. 对于集合
A
中任意元素
β=
(
y1, y2,⋯, yn
)
和
γ=
(
z1, z2,⋯, zn
)
，记
P
(
β , γ
)
=y1z1+y2z2+⋯+ynzn
,
M
(
β , γ
)
=1
2
(
y1+z1+
|
y1− z1
)
+y2+z2+
|
y2− z2
)
+⋯+yn+zn+
|
yn− zn
)
)
. 则
A．当
n=3
时，若
β=
(
1,1
)
, γ=
(
1, −1, −1
)
，则
M
(
β , γ
)
=2
B．当
n=3
时，
P
(
β , r
)
的最小值为
1−3
C．当
n=6
时，
M
(
β , γ
)
≥ P
(
β , γ
)
恒成立
D．当
n=6
时，若集合
B⊆A
，任取
B
中2个不同的元素
β , γ
,
P
(
β , γ
)
≥2
，则集合
B
中元素至多 7个
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．
120∘
角是第 { 象限角.
14．已知函数
f
(
x
)
=ax+1
（
a>0
，且
a ≠ 1
）的图象过定点，则该定点的坐标是 { .
15．已知
tan α=3
,
sin
(
π − α
)
+sin
(
π
2− α
)
cos
(
π+α
)
cos
(
π
2+α
)
的值为 { .
16．若函数
f
(
x
)
=x2−2x+
|
x − a
) (
a>0
)
在
[0,2]
上的最小值为 1，则正实数
a
的值为 { .
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）计算：
（1）
3
√
(
π − 3
)
3+8
2
3−23×2
1
3
；
（2）
lg 4+lg 25 −log23×log34
.
18．（12 分）已知
A={x∣
(
x −1
) (
x −3
)
<0}
，
B={x∣x>m}
.
（1）若
m=2
，求
A ∩ B
;
（2）若
x∈A
是
x∈B
的充分不必要条件，求实数
m
的取值范围.
19．（12 分）已知函数
f
(
x
)
=❑
√
3
2sin x+cos2x
2+m
的最大值为 2.
（1）求常数
m
的值：
（2）先将函数
f
(
x
)
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
（纵坐标不变），再将所得图象向右平移
π
6
个单
位长度，得到函数
g
(
x
)
的图象，求
g
(
x
)
在区间
[0,π
2]
的取值范围.
20．（12 分）从①
f
(
log32
)
=−1
3
;② 函数
f
(
x
)
为奇函数；③
f
(
x
)
的值域是
(
−1,1
)
这三个条件中选一个条件补
充在下面问题中，并解答下面的问题。
问题：已知函数
f
(
x
)
=a
3x+1−1, a ∈R
,且 { .
（1）求函数
f
(
x
)
的解析式；
（2）若
f
(
a⋅3x+2
)
+f
(
9x+m
)
≤0
对任意
x∈R
恒成立，求实数
m
的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（12 分）如图是一种升降装置结构图，支柱
OP
垂直水平地面，半径为 1的圆形轨道固定在支柱
OP
上，
轨道最低点
D
，
PD=2
，
OD=1
2
.液压杆
OA
、
OB
，牵引杆
CA
、
CB
，水平横杆
AB
均可根据长度自由伸缩，
且牵引杆
CA
、
CB
分别与液压杆
OA
、
OB
垂直.当液压杆
OA
、
OB
同步伸缩时，铰点
A、B
在圆形轨道上滑
动，铰点
C、E
在支柱
OP
上滑动，水平横杆
AB
作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，
通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.
（1）设劣弧
AD
⌢
的长为
x
，求水平横杆
AB
的长和
AB
离水平地面的高度
OE
（用
x
表示）；
（2）在升降过程中，求铰点
C、E
距离的最大值.
22．（12 分）已知函数
f
(
x
)
=
{
−1
2
(
x+1
)
2+5, x<1,
x2+2
x, x ≥1.
)
（1）用单调性定义证明：
f
(
x
)
在
¿
上单调递增；
（2）若函数
y=f
(
x
)
− m
(
m∈R
)
有3个零点
x1, x2, x3
，满足
x1<x2<x3
，且
x3− x2
x2− x1
=❑
√
2−1
2
,
① 求证：
(
x3+1
)
2=20 −4m
;
② 求
[10 x3]
的值（
[x]
表示不超过
x
的最大整数）.
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