浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学 含答案

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台州市 2023 学年第一学期高二年级期末质量评估试题
数学 2024.01
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求）
1．直线
y=2x − 1
的斜率等于
A．
−1
B．1 C．2 D．
−2
2．若双曲线
x2
m2−y2
12 =1
(
m>0
)
的离心率为 2，则实数
m=¿
A．2 B．
2❑
√
3
C．4 D．16
3．若空间向量
a=
(
1,0,1
)
, b=
(
2,1,2
)
，则
与
b
的夹角的余弦值为
A．
2
3
B．
❑
√
2
3
C．
2❑
√
2
3
D．
−1
3
4．已知等差数列
{an}
(
n∈N∗
)
的前
n
项和为
Sn
. 若
S5=35 ,a4=3a1
，则其公差
d
为
A．
−2
B．
−1
C．1 D．2
5．如图，在平行六面体
ABCD− A1B1C1D1
中，记
⃗
AB=a ,
⃗
AD=b ,
⃗
A D1=c
，则
⃗
D1C=¿
A．
a+b −c
B．
− a+b+c
C．
− a+b+c
D．
− a− b+c
6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2. 反复进行上
述运算，必会得到 1. 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列
{an}
(
n∈N∗
)
,
a1=m
（
m
为正整数），
an+1=
{
an
2, an为偶数 ,
3an+1, an为奇数.
)
若
a5=1
，则
m
所有可能的取值的和为
A．16 B．18 C．20 D．41
7．已知抛物线
C:y2=2px
(
p>0
)
的焦点为
F
,
A
,
B
两点在抛物线
C
上，并满足
⃗
AF=3
⃗
FB
,过点
A
作
x
轴的垂线，
垂足为
M
，若
|
FM
)
=1
，则
p=¿
A．
1
2
B．1 C．2 D．4
8．在空间四边形
ABCD
中，
⃗
AB ⋅
⃗
BC=
⃗
BC ⋅
⃗
CD=
⃗
CD ⋅
⃗
DA=
⃗
DA ⋅
⃗
AB
，则下列结论中不一定 正确的是
A．
⃗
AB+
⃗
BC=−
(
⃗
CD +
⃗
DA
)
B．
A B2+B C2=C D2+D A2
C．
△ABD ≅△DCA
D．
AC ⊥BD
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．已知数列
{an}
和
{bn}
(
n∈N∗
)
是等比数列，则下列结论中正确的是
A．
{an
2}
是等比数列 B．
{an+bn}
一定不是等差数列
C．
{an⋅bn}
是等比数列 D．
{an+bn}
一定不是等比数列
10．已知
a>−4
且
a ≠ 0
，曲线
C:x2
4+a+y2
a=1
，则下列结论中正确的是
A．当
a>0
时，曲线
C
是椭圆
B．当
−4<a<0
时，曲线
C
是双曲线
C．当
a>0
时，曲线
C
的焦点坐标为
(
0,2
)
,
(
0,− 2
)
D．当
−4<a<0
时，曲线
C
的焦点坐标为
(
−2,0
)
,
(
2,0
)
11．如图，在四面体
ABCD
中，
E , F , G , H
分别是
AB , BC
,
CD
,
DA
的中点，
EG
,
FH
相交于点
M
，则下列结
论中正确的是
A．
AC/¿
平面
EFGH
B．
AC ⊥BD
C．
⃗
AM=1
4
(
⃗
AB+
⃗
AC+
⃗
AD
)
D．若
S , T
分别为
AC
,
BD
的中点，则
M
为
ST
的中点
12．已知
S={
(
x , y
)
∣
(
x − 2
)
2+
(
y − m
)
2=1, y ≥0}∪{
(
x , y
)
∣
(
x −2
)
2+
(
y+m
)
2=1, y ≥ 0}
，
T={
(
x , y
)
∨y=1
2x}
，
P=S ∩T
，则下列结论中正确的是
A．当
m=1
2
时，
S ∩{
(
x , y
)
∣y=0}={
(
2−
❑
√
3
2,0
)
,
(
2+❑
√
3
2,0
)
}
B．当
m=2
时，
P
有2个元素
C．若
P
有2个元素，则
❑
√
5
2−1<m<❑
√
5
2+1
D．当
0<m<❑
√
5
2−1
时，
P
有4个元素
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．点
(
1,2
)
到直线
3x+4y −6=0
的距离为 ³ .
14．已知椭圆
x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
的左右焦点分别为
F1, F2
.
P
为椭圆上的点，若
∠F1P F2=60∘
，
|
P F1
)
=2
|
P F2
)
，则椭圆的离心率等于 ³ .
15．已知数列
{2n+1
(
2n+n
)(
2n+1+n+1
)
}
(
n∈N∗
)
的前
n
项和为
Sn
. 当
Sn>17
60
时，
n
的最小值是 ³ .
16．已知抛物线
C1:x2=4y
和
C2:x2=−8y
. 点
P
在
C2
上（点
P
与原点不重合），过点
P
作
C1
的两条切线，切
点分别为
A , B
，直线
AB
交
C2
于
C , D
两点，则
|
AB
)
|
CD
)
的值为 ³ .
四、解答题（本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题共 10 分）已知圆
C
经过原点及点
A
(
2,0
)
, B
(
0,2❑
√
3
)
.
（Ⅰ）求圆
C
的标准方程；
（Ⅱ）过原点的直线
l
与圆
C
相交于
P ,Q
两点，若
|
PQ
)
=2
，求直线
l
的方程.
18．（本小题共 12 分）已知数列
{an}
(
n∈N∗
)
是公比不为 1的等比数列，其前
n
项和为
Sn
. 已知
3a1,2a2, a3
成等差数列，
S3=26
.
（Ⅰ）求数列
{an}
的通项公式；
（Ⅱ）若
bn=
(
n+1
2
)
an
，求数列
{bn}
的前
n
项和
Tn
.
19．（本小题共 12 分）在长方体
ABCD− A1B1C1D1
中，
AB=AD=1
. 从①②这两个条件中任选一个解答
该题.
① 直线
AB
与平面
AC D1
所成角的正弦值为
2
3
；
② 平面
AB B1A1
与平面
AC D1
的夹角的余弦值为
2
3
.
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