《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十六：二次函数与几何综合：直角三角形存在性判定 解析版

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计算力专训三十六：二次函数与几何综合：直角三角形存在性判定
牛刀小试
1．（2020·河南初三月考）在平面直角坐标系中，坐标原点为 O，已知抛物线 与
y轴交于点 A，它的顶点为 B，连接 ，则称 为抛物线的伴生三角形，直线 为抛物线的伴
生直线．
（1）如图 1，求抛物线 的伴生直线 的解析式．
（2）已知抛物线 的伴生直线为 ，求 k的值．
（3）如图 2，若抛物线 的伴生直线是 ，且伴生三角形 是直角三
角形，求此抛物线的解析式．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【解析】
1
【分析】
（1）求出抛物线与 y轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；
（2）求出伴生直线 与 y轴的交点坐标，然后代入抛物线解析式中即可求出结论；
（3）先求出伴生直线 与 y轴的交点坐标，从而求出 OA 的长，然后根据点 B的位置分类讨论，分
别求出点 B的坐标即可求出 m和n的值，再将点 A的坐标分别代入即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵在 中，当 时， ，
∴抛物线 与 y轴的交点坐标为 ，
顶点坐标为 ．
设伴生直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴抛物线 的伴生直线 的解析式为 ．
（2）∵伴生直线 与 y轴的交点为 ，
∴抛物线 与 y轴的交点为 ．
2
把点 代入抛物线 中，
得 ．
（3）∵伴生直线 与 y轴的交点 A为 ，
∴ ．
∵伴生三角形 是直角三角形，
满足条件的点 B有两个．
①B点在 x轴上时， ，则 B点为 ，
∴ ．
将点 代入 中，得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
②B点在直线 上，且 ，如图，
3
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