《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题14 平行模型解决二次函数中的面积问题(解析版)

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专题 14 平行模型解决二次函数中的面积问题

【模型展示】

初中数学中考压轴题有一种常考的类型，二次函数最大面积问题。常用的方法有平行法、铅垂高法、

矩形覆盖法等。本文主要说明一下平行法，一般都是平移定底找最大高，形成与二次函数图像只有一个交

点。然后利用一次函数与二次函数图像只有一个交点，联立出一元二次方程解根的判别式等于零，进而求

出一次函数解析式，交点坐标可求。最大高一般都是空中有高平移至与坐标轴交点处，构成直角三角形，

与已知一次函数与坐标轴所夹直角三角形相似。

1、如图 1，抛物线与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C．

（1）求点 A、B的坐标；

（2）设 D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点 D的坐标；

（3）若直线 l过点 E(4, 0)，M为直线 l上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个

时，求直线 l的解析式．

图1

满分解答

（1）由，

得抛物线与 x轴的交点坐标为 A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线 x＝－1．

（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边 AC，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点 B、D到直线 AC 的距

离相等．

过点 B作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的点 D′．

设抛物线的对称轴与 x轴的交点为 G，与 AC 交于点 H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．

所以，点 D的坐标为．

因为 AC//BD，AG＝BG，所以 HG＝DG．

而D′H＝DH，所以 D′G＝3DG ．所以 D′的坐标为．

图2 图3

（3）过点 A、B分别作 x轴的垂线，这两条垂线与直线 l总是有交点的，即 2个点 M．

以AB 为直径的⊙G如果与直线 l相交，那么就有 2个点 M；如果圆与直线 l相切，就只有 1个点 M了．

联结 GM，那么 GM⊥l．

在Rt△EGM 中，GM＝3，GE＝5，所以 EM＝4．

在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以 M1A＝6．

所以点 M1的坐标为(－4, 6)，过 M1、E的直线 l为．

根据对称性，直线 l还可以是．

2、如图 1，二次函数 y＝a(x2－2mx－3m2)（其中 a、m是常数，且 a＞0，m＞0）的图像与 x轴分别交于

A、B（点 A位于点 B的左侧），与 y轴交于点 C(0,－3)，点 D在二次函数的图像上，CD//AB，联结 AD．

过点 A作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分∠DAE．

（1）用含 m的式子表示 a；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数的图像的顶点为 F．探索：在 x轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段

GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G即可，并

用含 m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点 A、B、F的坐标后，点 D的坐标

也可以写出来．点 E的纵坐标为定值是算出来的．

2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．

3．注意到点 E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点 F作AD 的平行

线与 x轴的交点，就是要求的点 G．

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