专题18 数轴上的动点问题（提优）-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学（解析版）

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专题 18 数轴上的动点问题（提优）
1．如图 1，线段 AB 的长为 a．
（1）尺规作图：延长线段 AB 到C，使 BC＝2AB；延长线段 BA 到D，使 AD＝AC．（先用尺规画图，
再用签字笔把笔迹涂黑．）
（2）在（1）的条件下，以线段 AB 所在的直线画数轴，以点 A为原点，若点 B对应的数恰好为 10，请
在数轴上标出点 C，D两点，并直接写出 C，D两点表示的有理数，若点 M是BC 的中点，点 N是AD
的中点，请求线段 MN 的长．
（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点 D处开始，在点
C，D之间进行往返运动；乙从点 N开始，在 N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从
M点第一次回到点 N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒 5个单位，乙的运动速度为每秒
2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．
【分析】（1）根据尺规作图的方法按要求做出即可；
（2）根据中点的定义及线段长度的计算求出；
（3）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程来计算相遇
的时间，然后计算出位置．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）根据（1）所作图的条件，如果以点 A为原点，若点 B对应的数恰好为 10，则有
点C对应的数为 30，点 D对应的数为﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35
（3）设乙从 M点第一次回到点 N时所用时间为 t，则
t
¿2MN
2=2×35
2=¿
35（秒）
那么甲在总的时间 t内所运动的长度为：
s＝5t＝5×35＝175（单位长度），
可见，在乙运动的时间内，甲在 C，D之间运动的情况为：
1
175÷60＝2……55，也就是说甲在 C，D之间运动一个来回还多出 55 长度单位．
①设甲乙第一次相遇时的时间为 t1，有：
5t1＝2t1+15，t1＝5（秒）
而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5
这时甲和乙所对应的有理数为﹣5．
②设甲乙第二次相遇时再次经过的时间 t2，有：
5t2+2t2＝2×[30﹣（﹣5）]，t2＝10（秒）
此时甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置 15×2 15﹣＝15，
这时甲和乙所对应的有理数为 15．
③设甲乙第三次相遇时再次经过的时间 t3，有：
5t3+2t3＝45+50+5，t3
¿100
7
（秒）
此时甲的位置：5
×100
7
−
45 30﹣
¿−25
7
，乙的位置：﹣（2
×100
7
−
5 20﹣）
¿−25
7
这时甲和乙所对应的有理数为
−25
7
．
此时所经过的时间＝t1+t2+t3＝5+10
29
2
7
（秒），
剩余的时间＝35 29﹣
2
7=¿
5
5
7
，
甲运动的距离只有 5×5
5
7=¿
28
4
7
，可见甲和乙停止运动后不可能再相遇了，
所以甲和乙在运动过程中所相遇的点对应的有理数为：﹣5，15，
−25
7
．
【点评】本题既考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运
动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关
键．
2．如图 1，数轴上，O点与 C点对应的数分别是 0，60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺 AB
放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当 A点移动到 B点的位置时，B点与 C点
重合，当 B点移动到 A点的位置时，A点与 O点重合．
2
（1）请直接写出直尺的长为　 20 　 个单位长度；
（2）如图 2，直尺 AB 在数轴上移动，有 BC＝3OA，求此时 A点所对应的数；
（3）如图 3，以 OC 为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看
不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺 AB 沿数轴以 4个单位长度/秒的速度分别向左、右移动，
直到完全看到直尺，所经历的时间分别为 t1、t2，若 t1﹣t2＝9（秒），求直尺放入篷内时，A点所对应
的数为多少？
【分析】根据数轴上点的移动来计算相对点的位置，找到它们的数量关系来求解．
【解答】解：（1）∵OC＝3AB＝60，
∴AB＝20，
∴直尺的长为：20．
（2）当直尺 AB 在数轴上移动时，符合 BC＝3OA 的情况如下所示：
①直尺在 OC 之外时，设 BO 为x，
60+∴x＝3（20+x），x＝0，
∴A所对应的数为﹣20．
②直尺在 OC 之内时，设 OA 为x，
60 20﹣ ﹣x＝3x，x＝10，
∴A所对应的数为 10，
∴综上所述，A在数轴上所对应的数分别为﹣20 或10．
（3）设直尺在蓬内的 x处，即 OA＝x，如下图，根据题意，
t1
¿x+20
4
t2
¿60− x
4
∵t1﹣t2＝9
∴
x+20
4
−60 − x
4=¿
9，解得 x＝38
所以 A点在蓬内所对应的数为 38．
【点评】本题考查直尺两端相对固定的两个点在数轴上移动时和数轴上固定的点之间距离关系的变化来
3
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