《中考数学一轮复习精讲+热考题型》专题53 多函数综合问题（解析版）

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专题 53 多函数综合问题（15 题）
1．（2020·江苏连云港模拟）平面直角坐标系 xOy 中，横坐标为 a的点 A在反比例函数 y1═（x＞0）的
图象上，点 A′与点 A关于点 O对称，一次函数 y2=mx+n 的图象经过点 A′．
（1）设 a=2，点 B（4，2）在函数 y1、y2的图象上．
① 分别求函数 y1、y2的表达式；
② 直接写出使 y1＞y2＞0成立的 x的范围；
（2）如图①，设函数 y1、y2的图象相交于点 B，点 B的横坐标为 3a，△AA'B 的面积为 16，求 k的值；
（3）设 m= ，如图②，过点 A作AD⊥x轴，与函数 y2的图象相交于点 D，以 AD 为一边向右侧作正方
形ADEF，试说明函数 y2的图象与线段 EF 的交点 P一定在函数 y1的图象上．
【答案】（1）y1=，y2=x 2﹣；② 2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析.
【解析】
提示：（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB 面积，用 a、k表示面积问题可解；
（3）设出点 A、A′坐标，依次表示 AD、AF 及点 P坐标．
详解：（1）①由已知，点 B（4，2）在 y1═（x＞0）的图象上
∴k=8
∴y1=
1
∵a=2
∴点 A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入 y2=mx+n 得，
，
解得 ，
∴y2=x 2﹣；
②当y1＞y2＞0时，y1=图象在 y2=x 2﹣图象上方，且两函数图象在 x轴上方，
∴由图象得：2＜x＜4；
（2）分别过点 A、B作AC⊥x轴于点 C，BD⊥x轴于点 D，连 BO，
∵O为AA′中点，
S△AOB= S△AOA′=8
∵点 A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S 四边形 ACDB=8
由已知点 A、B坐标都表示为（a， ）（3a， ）
∴ ，
解得 k=6；
2
（3）由已知 A（a， ），则 A′为（﹣a，﹣ ）.
把A′代入到 y= ，得：﹣ ，
∴n= ，
∴A′B 解析式为 y=﹣.
当x=a 时，点 D纵坐标为 ，
∴AD=
∵AD=AF，
∴点 F和点 P横坐标为 ，
∴点 P纵坐标为 .
∴点 P在y1═（x＞0）的图象上.
名师点拨：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待
定系数法和数形结合思想．
2．（2020·福建厦门市模拟）如图，在平面直角坐标系中抛物线 y=ax2+bx+2（a≠0）与 y轴交于点 C，与 x
轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），且 A点坐标为（ ，0），直线 BC 的解析式为
．
3
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