《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题70 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题(原卷版)

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专题 70 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题
【专题说明】
动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，
最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:
（1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。
（2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;
** Expression is faulty **见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形
** Expression is faulty **见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形
【知识精讲】
如图，
P
是圆
O
上一个动点，
A
为定点，连接
AP
，
Q
为
AP
中点．
考虑：当点
P
在圆
O
上运动时，
Q
点轨迹是？
【分析】观察动图可知点
Q
轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆
O
有什么关系？
考虑到
Q
点始终为
AP
中点，连接
AO
，取
AO
中点
M
，则
M
点即为
Q
点轨迹圆圆心，半径
MQ
是
OP
一半，任意
时刻，均有△
AMQ
∽△
AOP
，
QM
:
PO
=
AQ
:
AP
=1:2．
1
【小结】确定
Q
点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由
A
、
Q
、
P
始终共线可得：
A
、
M
、
O
三点共线，
由
Q
为
AP
中点可得：
AM
=1/2
AO
．
Q
点轨迹相当于是
P
点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
2
如图，
P
是圆
O
上一个动点，
A
为定点，连接
AP
，作
AQ
⊥
AP
且
AQ
=
AP
．
考虑：当点
P
在圆
O
上运动时，
Q
点轨迹是？
【分析】
Q
点轨迹是个圆，可理解为将
AP
绕点
A
逆时针旋转 90°得
AQ
，故
Q
点轨迹与
P
点轨迹都是圆．接
下来确定圆心与半径．
考虑
AP
⊥
AQ
，可得
Q
点轨迹圆圆心
M
满足
AM
⊥
AO
；
考虑
AP
=
AQ
，可得
Q
点轨迹圆圆心
M
满足
AM
=
AO
，且可得半径
MQ
=
PO
．
即可确定圆
M
位置，任意时刻均有△
APO
≌△
AQM
．
如图，△
APQ
是直角三角形，∠
PAQ
=90°且
AP
=2
AQ
，当
P
在圆
O
运动时，
Q
点轨迹是？
3
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