《人教版九年级数学上册教学案》24.2.2直线与圆位置关系讲义 教师版

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24.2.2 直线和圆的位置关系
知识点一：直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
① 相离：一条直线和圆没有公共点．
② 相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫
切点．
③ 相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离为 d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d=r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
例题：已知⊙O的半径为 5cm，圆心 O到直线 l的距离为 5cm，则直线 l与⊙O的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离 5等于圆的半径 5，则直线和圆相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离 5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若 d＜r，则
直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 d＞r，则直线与圆相离．
　
变式 1：半径为 10 的⊙O和直线 l上一点 A，且 OA=10，则直线 l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【分析】分两种情况求解：OA⊥l；OA 不垂直 l．根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定．
【解答】解：若 OA⊥l，则圆心 O到直线 l的距离就是 OA 的长，等于半径，所以直线 l与⊙O相切；
1
若OA 与直线 l不垂直，根据垂线段最短，圆心 O到直线 l的距离小于 5，即小于半径，所以直线 l与⊙O相
交．
故选：D．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离 d与半径 r的大小关系解答．
若d＜r，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 d＞r，则直线与圆相离．
　
变式 2：直线 l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系一定是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【分析】若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线
和圆相交或相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，
∴直线和圆相交或相切．
故选：D．
【点评】此题考查直线与圆的关系，注意：直线上一点到圆心的距离不一定是圆心到直线的距离．
知识点二：切线的判定定理
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
① 切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
② 切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③ 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
2
例题：如图，PA、PB 分别切⊙O于A、B，点 C和点 D分别是线段 PA、PB 上的动点，并且 CD 始终保持与
圆O相切，若 PA=8cm，则△PCD 的周长是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．不能确定
【分析】利用切线长定理得到 PB=PA=8，CA=CE，DE=DB，然后根据三角形周长的定义和等量代换计算
△PCD 的周长．
【解答】解：∵PA、PB 分别切⊙O于A、B，
∴PB=PA=8，
∵CD 切⊙O于E，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD 的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=8+8=16（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
　
变式 1：如图所示，AB 是⊙O的直径，PA 切⊙O于点 A，线段 PO 交⊙O于点 C，连结 BC，若∠P=36°，则
∠B等于（　　）
3
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