《人教版九年级数学上册教学案》21.2 解一元二次方程讲义 学生版

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21.2 解一元二次方程
一、教学目标
（1）掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．
（2）掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程
（3）掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．
（4）掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法
二、教学重难点
（1）教学重点：配方法、公式法；
（2）教学难点：注意各种解法容易出错的地方，灵活选用适当的方法解答；
知识点一：用直接开平方法解一元二次方程
形如 x2=p 或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成 x2=p 的形式，那么可得 x=
如果方程能 化成 （nx+m）2=p（p≥0）的形式 ，那么 nx+m=
注意：
① 等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
② 降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③ 方法是根据平方根的意义开平方．
例题：一元二次方程（x+2017）2=1 的解为（　　）
A．﹣2016，﹣2018 B．﹣2016 C．﹣2018 D．﹣2017
变式 1：方程 4x2﹣1=0 的根是（　　）
A． B． C．2 D．±2
变式 2：一元二次方程 x2﹣a=0 的一个根是 2，则 a 的值是　 4 　 ．
p
p
1
知识点二：用配方法解一元二次方程
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
① 把原方程化为 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
② 方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；
③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤ 如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
例题：一元二次方程 y2﹣y﹣ =0 配方后可化为（　　）
A．（y+ ）2=1 B．（y﹣ ）2=1 C．（y+ ）2= D．（y﹣ ）2=
变式 1：用配方法解方程 x2﹣ x﹣1=0 时，应将其变形为（　　）
A．（x﹣ ）2= B．（x+ ）2= C．（x﹣ ）2=0 D．（x﹣ ）2=
变式 2：把方程 x2﹣3=2x 用配方法化为（x+m）2=n 的形式，则 m=　 　 ，n=　 　 ．
知识点三：用求根公式法解一元二次方程
（1）把 x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
① 把方程化成一般形式，进而确定 a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac 的值（若 b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0 的前提下，把 a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：① a≠0；② b2-4ac≥0．
2
例题：利用求根公式求 5x2+ =6x 的根时，其中 a=5，则 b、c 的值分别是（　　）
A． B．6， C．﹣6， D．﹣6，﹣
变式 1：一元二次方程 2x2﹣2x﹣1=0 的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（　　）
A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0
变式 2：x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
知识点四：用因式分解法解一元二次方程
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方
法．
因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
① 移项，使方程的右边化为零；
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