《中考数学必考的十五种类型大题夺分技巧再训练》专题13数字图形规律探索问题（原卷版）

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专题 13 数字图形规律探索问题
1. 数学问题：计算 + + +…+ （其中 m，n都是正整数，且 m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 +；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为 + + +…+ ，
最后空白部分的面积是 ．
根据第 n次分割图可得等式： + + +…+ =1- ．
1
探究二：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 +；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 + + +…+ ，
最后空白部分的面积是 ．
根据第 n次分割图可得等式： + + +…+ =1﹣ ，
两边同除以 2，得 + + +…+ = ﹣ ．
探究三：计算 + + +…+ ．
（仿照上述方法，只画出第 n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
2
解决问题：计算 + + +…+ ．
（只需画出第 n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第 n次分割图可得等式：　　，
所以， + + +…+ =　　．
拓广应用：计算 + + +…+ ．
2．如图 1，抛物线 的顶点为 M，直线 y=m 与 x 轴平行，且与抛物线交于点
A，B，若三角形 AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A、B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为
该抛物线对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶，点 M 到线段 AB 的距离称为碟高。
（1）抛物线 对应的碟宽为____；抛物线 对应的碟宽为_____；抛物线 （a>0）
对应的碟宽为____；抛物线 对应的碟宽____；
（2）若抛物线 对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值；
（3）将抛物线 的对应准蝶形记为 Fn（n=1,2,3，…），定义 F1，F2，
…..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若 Fn与 Fn-1 的相似比为 ，且 Fn的碟顶是 Fn-1 的碟宽
3
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