《中考数学典型压轴题大突破（全国通用）》专题09 函数与几何综合（解析版）

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决战 2020 年中考典型压轴题大突破
模块三 中考压轴题二次函数综合题专题
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函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型。近几年的中考压轴题多以数学综合题的形
式出现。解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤。解数学综合
题必须要有科学分析问题的方法。数学思想是解数学综合题的灵魂，要善于总结数学综合题中所隐含的转
化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，更要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习
解综合题的关键。函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象,由于这类题型能较好
地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力,因此
是各地中考的热点题型，并且长盛不衰，年年有新花样。
专题 09 二次函数与几何综合
方法点拨
几何图形变换型与函数相结合型问题，历来是各地中考试题中的热点题型。主要是以函数为主线，建
立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合。解题时要注意函数的图象信息与图形变换型的相互转化，
这类题目一般由 1-3 问组成，第一问往往是求函数解析式，在此基础上再与平移、旋转、折叠结合起来，
利用初中的主干知识考查学生综合运用所学知识解决问题能力；解决这类问题时要注意几个问题:(1)注意
弄清题目中所涉及概念，熟悉与之相关定理、公式、技巧和方法；(2)注意剖析综合问题结构，弄清知识点
之间的联系，善于把一个综合题分成若干个基本题，各个知识点之间结合点，往往是由一个基本问题转化
到另一个基本问题的关键；(3)注意从不同的角度来探索解题途径，注意运用“从已知看可知”，“从结论
看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论.
精典例题
(2020·青浦区一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2+bx+c与x轴交于 A、B两点，与 y轴交
于点 C，对称轴为直线 x＝2，点 A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点 P为抛物线上一点（不与点 A重合），联结 PC．当∠PCB＝∠ACB 时，求点 P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于 y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点 D，点 P
的对应点为点 Q，当 OD⊥DQ 时，求抛物线平移的距离．
1
【点睛】（1）由抛物线的对称性质得到点 B的坐标，把点 A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出方
程组，通过解方程组求得系数的值；根据抛物线解析式求得顶点坐标；
（2）过点 P作PN⊥x轴于 N，过点 C作CM⊥PN，交 NP 的延长线于点 M，构造矩形 COMN 和直角三
角形，利用锐角三角函数的定义求得
PM
PN =1
3
，故设 PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．易得 P（3a，3﹣
a），由二次函数图象上点的坐标特征列出关于 a的方程，通过解方程求得 a的值，易得点 P的坐标；
（3）设抛物线平移的距离为 m，得 y＝（x2﹣）21﹣ ﹣m．从而求得 D（2，﹣1﹣m）．过点 D作直线
EF∥x轴，交 y轴于点 E，交 PQ 延长线于点 F．易推知∠EOD＝∠QDF，则 tan∠EOD＝tan∠QDF，根
据锐角三角函数定义列出关于 m的方程，通过解方程求得 m的值．
【详解】解：（1）∵对称轴为直线 x＝2，点 A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标是（3，0）．
将A（1，0），B（3，0）分别代入 y＝x2+bx+c，得
{
1+b+c=0
9+3b+c=0
．
解得
{
b=−4
c=3
．
则该抛物线解析式是：y＝x24﹣x+3．
由y＝x24﹣x+3＝（x2﹣）21﹣知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；
（2）如图 1，过点 P作PN⊥x轴于 N，过点 C作CM⊥PN，交 NP 的延长线于点 M，
2
∵∠CON＝90°，
∴四边形 CONM 是矩形．
∴∠CMN＝90°，CO＝MN、
∴y＝x24﹣x+3，
∴C（0，3）．
∵B（3，0），
∴OB＝OC＝3．
∵∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠BCM＝45°．
又∵∠ACB＝∠PCB，
∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．
∴tan∠OCA＝tan∠PCM．
∴
PM
CM =1
3
．
故设 PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．
∴P（3a，3﹣a），
将其代入抛物线解析式 y＝x24﹣x+3，得（3a）24﹣（3﹣a）+3＝3﹣a．
解得 a1
¿11
9
，a2＝0（舍去）．
∴P（
11
3
，
）．
（3）设抛物线平移的距离为 m，得 y＝（x2﹣）21﹣ ﹣m．
∴D（2，﹣1﹣m）．
如图 2，过点 D作直线 EF∥x轴，交 y轴于点 E，交 PQ 延长线于点 F，
3
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