《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题67 开放探究类问题（1）（解析版）

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专题 67 开放探究类问题（1）
【规律总结】
这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等
能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、
发现规律的过程。尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.
开放题常见的题型：
开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条
件和结论都开放的试题。 开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征
是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多
角度、多层次探索．
【典例分析】
例1．（2021·山东省济南兴济中学九年级期末）如图，A是⊙B上任意一点，点 C在⊙B外，
已知 AB＝2，BC＝4，△ACD 是等边三角形，则 的面积的最大值为（ ）
A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
【答案】A
【分析】
以BC 为边向上作等边三角形 BCM，连接 DM，证明 得到
，分析出点 D的运动轨迹是以点 M为圆心，DM 长为半径的圆，在求出点 D
到BC 的最大距离，即可求出面积最大值．
1
【详解】
解：如图，以 BC 为边向上作等边三角形 BCM，连接 DM，
∵，
∴，即
在 和 中，
，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹是以点 M为圆心，DM 长为半径的圆，
要使 面积最大，则求出点 D到线段 BC 的最大距离，
∵是边长为 4的等边三角形，
∴点M到BC 的距离是 ，
∴点D到BC 的最大距离是 ，
∴的面积最大值是 ．
故选：A．
2
【点睛】
本题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利用构造全等三角形找到动点 D的轨迹圆，
再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
例2．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在直角坐标系中，直线 ：
与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，分别以 、 为边作矩形
，点 、 在直线 上，且 ，则 的最小值是________．
【答案】
3
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