大题押题10函数与几何压轴综合问题（共30题）-备战2021年中考数学临考题号押题（解析版）（浙江专版）

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备战 2021 年中考数学临考题号押题（浙江专版）
大题押题 10 函数与几何压轴综合问题（共 30 题）
〖真题回顾〗
一．解答题（共 10 小题）
1．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为 D，与 y
轴的交点为 C．过点 C的直线 CA 与抛物线交于另一点 A（点 A在对称轴左侧），点 B在AC 的延长线上，
连接 OA，OB，DA 和DB．
（1）如图 1，当 AC∥x轴时，
①已知点 A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形 AOBD 是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图 2，若 b＝﹣2，
BC
AC =3
5
，是否存在这样的点 A，使四边形 AOBD 是平行四边形？若存在，求
出点 A的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①先确定出点 C的坐标，再用待定系数法即可得出结论；
②先确定出抛物线的顶点坐标，进而得出 DF
¿b2
4
，再判断出△AFD≌△BCO，得出 DF＝OC，即可得
出结论；
（2）方法 1、先判断出抛物线的顶点坐标 D（﹣1，c+1），设点 A（m，﹣m22﹣m+c）（m＜0），
判断出△AFD≌△BCO （AAS ），得出 AF ＝BC ，DF ＝OC ，再判断出△ANF∽△AMC ，得出
AN
AM =FN
CM =AF
AC =BC
AC =3
5
，进而求出 m的值，得出点 A的纵坐标为 c
−5
4＜
c，进而判断出点 M的坐
标为（0，c
−5
4
），N（﹣1，c
−5
4
），进而得出 CM
¿5
4
，DN
，FN
¿9
4−
c，进而求出 c
¿3
2
，即可得
出结论．
方法 2、设出点 A的横坐标，表示出点 B的横坐标，再求出点 D的横坐标，最后用平行四边形的对角线
互相平分，求出 a，即可得出结论．
【解析】（1）①∵AC∥x轴，点 A（﹣2，1），
∴C（0，1），
将点 A（﹣2，1），C（0，1）代入抛物线解析式中，得
{
−4−2b+c=1
c=1
，
∴
{
b=−2
c=1
，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x22﹣x+1；
②如图 1，过点 D作DE⊥x轴于 E，交 AB 于点 F，
∵AC∥x轴，
∴EF＝OC＝c，
∵点D是抛物线的顶点坐标，
∴D（
b
2
，c
+b2
4
），
∴DF＝DE﹣EF＝c
+b2
4−
c
¿b2
4
，
∵四边形 AOBD 是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∵∠AFD＝∠BCO＝90°，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴DF＝OC，
∴
b2
4=¿
c，
即b2＝4c；
（2）方法 1、如图 2，∵b＝﹣2．
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x22﹣x+c，
∴顶点坐标 D（﹣1，c+1），
2
假设存在这样的点 A使四边形 AOBD 是平行四边形，
设点 A（m，﹣m22﹣m+c）（m＜0），
过点 D作DE⊥x轴于点 E，交 AB 于F，
∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，
∵四边形 AOBD 是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴AF＝BC，DF＝OC，
过点 A作AM⊥y轴于 M，交 DE 于N，
∴DE∥CO，
∴△ANF∽△AMC，
∴
AN
AM =FN
CM =AF
AC =BC
AC =3
5
，
∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m1﹣，
∴
−m− 1
−m =3
5
，
∴
m=−5
2
，
∴点A的纵坐标为﹣（
−5
2
）22×﹣（
−5
2
）+c＝c
−5
4＜
c，
∵AM∥x轴，
∴点M的坐标为（0，c
−5
4
），N（﹣1，c
−5
4
），
∴CM＝c﹣（c
−5
4
）
¿5
4
，
∵点D的坐标为（﹣1，c+1），
∴DN＝（c+1）﹣（c
−5
4
）
¿9
4
，
∵DF＝OC＝c，
∴FN＝DN﹣DF
¿9
4−
c，
∵
FN
CM =3
5
，
3
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