专题13圆与函数相似三角函数综合问题 - 决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（原卷版）（江苏专版）

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决胜 2021 中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版）

专题 13 圆与函数相似三角函数综合问题

【考点 1】圆与三角函数综合问题

【例 1】（2020•镇江）如图，▱ABCD 中，∠ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O，OD＝4，以点 O为圆心，

OD 长为半径作⊙O，分别交边 DA、DC 于点 M、N．点 E在边 BC 上，OE 交⊙O于点 G，G为

的中

点．

（1）求证：四边形 ABEO 为菱形；

（2）已知 cos∠ABC

¿1

，连接 AE，当 AE 与⊙O相切时，求 AB 的长．

【变式 1-1】（2019•南通）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边 AC 上一点 O为

圆心，OA 为半径的⊙O经过点 B．

（1）求⊙O的半径；

（2）点 P为劣弧 AB 中点，作 PQ⊥AC，垂足为 Q，求 OQ 的长；

（3）在（2）的条件下，连接 PC，求 tan∠PCA 的值．

【变式 1-2】（2019•镇江）在三角形纸片 ABC（如图 1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用 5张这样的

三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图 2）．

（1）∠ABC＝　 30 　 °；

（2）求正五边形 GHMNC 的边 GC 的长．

参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．

【变式 1-3】（2019•镇江）如图，在△ABC 中，AB＝AC，过 AC 延长线上的点 O作OD⊥AO，交 BC 的

延长线于点 D，以 O为圆心，OD 长为半径的圆过点 B．

（1）求证：直线 AB 与⊙O相切；

（2）若 AB＝5，⊙O的半径为 12，则 tan∠BDO＝　．

【考点 2】圆与相似综合问题

【例 2】（2019•苏州）如图，AB 为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧 BC 的中点，BC 与AD、OD 分

别交于点 E、F．

（1）求证：DO∥AC；

（2）求证：DE•DA＝DC2；

（3）若 tan∠CAD

¿1

，求 sin∠CDA 的值．

【变式 2-1】（2019•泰州）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O的直径，D为

的中点，过点 D

作DE∥AC，交 BC 的延长线于点 E．

（1）判断 DE 与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为 5，AB＝8，求 CE 的长．

【变式 2-2】（2020•吴江区二模）如图，AB 是⊙O的直径，AC 是弦，点 E在圆外，OE⊥AC 于D，BE 交

⊙O于点 F，连接 BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．

（1）求证：AE 是⊙O的切线；

（2）求证：△BOD∽△EOB；

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