专题08 一元二次方程-走进新高一之2021年暑假初升高数学完美衔接课（原卷版）

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一元二次方程

1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二

次）的整式方程，叫做一元二次方程.

2. 一元二次方程的一般式： .

3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元

二次方程的根.

4. 一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根

的判别式，通常用“△”来表示，即 .

（1）当时，一元二次方程有 2个不相等的实数根；

（2）当时，一元二次方程有 2个相等的实数根；

（3）当时，一元二次方程没有实数根.

5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果一元二次方程的实数根分别为、，则，

一元二次方程的根的判别式都成立，主要应用有以下几个：

（1）不需要解方程就可以判定方程根的情况；

（2）根据系参数的性质确定根的范围；

（3）解与根有关的证明题；

（4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数；

（5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

（6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.

例1：根的判别式的应用

（1）

（2）

【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根.

【解析】（1）在中，，

，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）方程是一元二次方程，常数项为 0，

无论取任何实数，均为非负数，

，故方程有两个实数根.

例2：根的判别式的逆运用

关于的一元二次方程 .

（1）k为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？

（3）k为何值时，方程没有实数根？

【解答】见解析

【解析】 .

（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴，即，解得；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

，即，解得；

（3）∵方程没有实数根，

，即，解得 .

例3：通过根的判别式推理论证

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