4.1 功 -2020-2021学年高一物理精讲精练（新粤教版必修第二册）（解析版）

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4.1 功

考点精讲

考点 1：正功、负功及总功

1．正功、负功的物理意义

功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说

是动力还是阻力。

2．对功的公式 W＝Fscos α的理解

(1)对公式中“scos α”和“Fcos α”的理解

①W＝F·scos α，scos α是位移 s在力 F方向上的分量，即从分解位移方面去理解。

②W＝Fcos α·s，Fcos α是力 F在位移 s方向上的分量，即从分解力方面去理解。

(2)公式的适用条件

公式中的 F一定是恒力(大小、方向都不变)，即此式是求恒力做功的公式。若是变力，中学阶段一般

不用此式求功。

3．几个力的总功的求法

由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：

(1)先求物体所受的合力，再根据公式 W合＝F合scos α求合力的功。

(2)先根据 W＝Fscos α，求每个分力做的功 W1、W2…Wn，再根据 W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功。

即合力做的功等于各个力做功的代数和。

【例 1】　一个质量 m＝2 kg 的物体，受到与水平方向成 37°角斜向上方的力 F＝10 N 作用，在水平地

面上移动的距离 l＝2 m，物体与地面间的滑动摩擦力 f＝4.2 N，求外力对物体所做的总功。(cos 37°＝

0.8，sin 37°＝0.6)

【分析】(1)由W合＝W1＋W2＋…求合力的功。

(2)由W合＝F合·scos α求合力的功。

【解析】　解法一：先求各力做的功，再求总功

拉力 F对物体所做的功为

W1＝Flcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J

摩擦力 f对物体所做的功为

W2＝flcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J

由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功 W等于 W1和W2的代数和

所以 W＝W1＋W2＝7.6 J。

解法二：先求合力，再求总功

物体受到的合力为

F合＝Fcos 37°－f＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N

所以 W＝F合s＝3.8×2 J＝7.6 J。

【技巧与方法】

灵活选择求合力功的两种方法

1．如果物体处于平衡状态或某一方向受力平衡(合力等于零)，或者物体在某一方向上做匀变速直线运

动(合力等于 ma)，先求合力再求功的方法更简捷。先求合力的方法仅适用于几个力同时作用于物体上，且

它们均不发生变化的情况。

2．如果已知物体所受的力之中有的不做功，有的做功且方便求得该力的功(如重力功)时，选择 W合＝

W1＋W2＋…＋Wn简单方便。求各力做功的代数和的方法，不管是几个力同时作用，还是作用时间有先后

均适用。

【针对训练】

训练角度 1　正功、负功的判断

1．如图所示，物体在力 F的作用下沿粗糙水平面发生了一段位移，三种情形下力 F和位移 l的大小都

相等。角 θ的大小和物体运动方向已在图中标明，下列说法正确的是(　　)

A．甲、乙两种情形下，力 F都做正功

B．乙、丙两种情形下，力 F都做负功

C．三种情形下，力 F做功的绝对值相等

D．三种情形下，合力做功的绝对值相等

【答案】C　

【解析】甲中力与速度方向成锐角，故力 F做正功；乙中力和速度方向成钝角，故力做负功；丙中力

和速度方向成锐角，故力做正功，A、B错；

这三种情形下力 F和位移 l的大小都是一样的，根据 W＝Flcos α可知三种情况下力 F做功的绝对值相

等，C对；

这三种情形下，重力、支持力不做功，摩擦力做负功且 Wf甲＝Wf乙＜Wf丙，力 F做功的绝对值相等且

WF甲＞0、WF乙＜0、WF丙＞0，可知合力做功的绝对值不相等，D错。

训练角度 2　恒力功的计算

2.如图所示，质量 m＝50 kg 的滑雪运动员从高度 h＝30 m 的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角 θ＝37°，滑

雪板与雪面之间的动摩擦因数 μ＝0.1。则运动员滑至坡底的过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝

0.8，装备质量不计)

(1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？

(2)各力对运动员做的总功是多少？

【解析】　(1)重力做的功为

WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J。

(2)运动员所受合力

F合＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝260 N

合力方向沿斜坡向下，沿合力方向的位移 s＝＝50 m

合力做的功 W合＝F合·s＝260×50 J＝1.3×104 J。

考点 2：变力的功

1．在 Fs 图像中，“面积”的意义

利用 Fs 位移图像可求功。如图(1)所示表示恒力的 Fs 位移图像，纵坐标表示力 F在位移方向上的分量，

功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积。如图(2)所示表示变力 Fs 图像，曲线下方画有斜线部分的

面积就表示变力所做的功。

2．求变力功的方法

(1)平均值法：当力 F的大小发生变化，但 F、s成线性关系时，可以代入 F的平均值计算 F做的功。

(2)图像法：变力的功 W可用 Fs 图线中所包围的面积表示。s轴上方的面积表示力对物体做的正功多少，

s轴下方的面积表示力对物体做的负功多少。

例如求弹簧弹力做功。因弹力与弹簧的伸长量(或缩短量)x成正比，力 F

随x增大而增大，则两者关系图像如图所示：F·x表示力 F做功，所以图线与

x轴围成的面积即表示力 F所做的功，W＝F1x1＝kx。

(3)分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分

为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。

(4)等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功。

【例 2】　如图所示：一辆拖车通过光滑的定滑轮将一质量为 m的重物 G匀速提升，已知拖车在由滑

轮正下方的 A点运动到 B点的过程中拖车的水平位移为 s，此时牵引绳与竖直方向的夹角为 α，求拖车对重

物做的功。

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