专题38 几何最值之胡不归问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 38 4 1.15MB 24 页 3知币
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问题分析
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置 A到家 B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
V
1
V
2
V
1
驿道
砂石地
A
B
C
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
模型展示：
如图，一动点 P在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1<V2，A、B为定点，
点C在直线 MN 上，确定点 C的位置使 的值最小．
V
2
V
1
N
C
B
A
，记 ，
即求 BC+kAC 的最小值．
构造射线 AD 使得 sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
专题 38 几何最值之胡不归问题
方法技巧
CH=kAC
sin
α
=
CH
AC
=k
H
D
α
A
B
C
N
将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B点作 BH⊥AD 交MN 于点 C，交 AD 于H点，此时 BC+CH 取到最小
值，即 BC+kAC 最小．
N
C
B
A
α
D
H
最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型问
题转化为“PA+PC”型．
【例 1】如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边 CD 上的一动点，则
的最小值等于________．
A
B
C
D
P
M
H
P
D
C
B
A
A
B
C
D
P
H
M
【解析】已知∠A=60°，且 sin60°= ，故延长 AD，作 PH⊥AD 延长线于 H点，
即可得 ，∴ =PB+PH．
题型精讲
当B、P、H三点共线时，可得 PB+PH 取到最小值，即 BH 的长，解直角△ABH 即可得 BH 长．
【例 2】（2021·重庆中考真题）在等边 中， ， ，垂足为 D，点 E为AB 边上一
点，点 F为直线 BD 上一点，连接 EF．
图1 图2 图3
（1）将线段 EF 绕点 E逆时针旋转 60°得到线段 EG，连接 FG．
①如图 1，当点 E与点 B重合，且 GF 的延长线过点 C时，连接 DG，求线段 DG 的长；
②如图 2，点 E不与点 A，B重合，GF 的延长线交 BC 边于点 H，连接 EH，求证： ；
（2）如图 3，当点 E为AB 中点时，点 M为BE 中点，点 N在边 AC 上，且 ，点 F从BD 中点
Q沿射线 QD 运动，将线段 EF 绕点 E顺时针旋转 60°得到线段 EP，连接 FP，当 最小时，直接
写出 的面积．
【答案】（1）① ；②见解析；（2）
【分析】
（1）①连接 AG，根据题意得出△ABC 和△GEF 均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求
出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以点 F为圆心，FB 的长为半径画弧，与 BH 的
延长线交于点 K，连接 KF，先证明出△BFK 是顶角为 120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而
得出结论即可；
（2）利用“胡不归”模型构造出含有 30°角的直角三角形，构造出 ，当 N、P、J
三点共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN 与DN 的长度，即可得出结
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