专题20利用导数研究函数的零点（讲）【原卷版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 20 利用导数研究函数的零点（讲案）（理）

函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围。高考常考

查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压

轴题出现。处理函数零点的常用方法有以下两种：

1．直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在

(a，b)内有唯一的。

2．分类讨论法：判断几个零点时，需先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存

在性定理，在每个单调区间内取值证明 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)有多个零点。

1．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知函数

，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

A．B．C．D．

2．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数 .

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围．

4．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数，曲线

在点(，f( ))处的切线与 y轴垂直．

（1）求 b．

（2）若有一个绝对值不大于 1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于 1．

5．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数 f（x）=2sinx－xcosx

－x，f′（x）为 f（x）的导数．

（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a的取值范围．

6（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数，

为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有 2个零点．

一、考向分析：

二、考向讲解

考查内容解题技巧

函数与导数

导数的几

何意义

导数与函

数单调性

导数与函的

极值、最值导数与不等式导数与零点

导数的几

何意义

1．求切线方程的方法

(1)求曲线在点 P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在点 P处的

导数，然后利用点斜式写出切线方程．

(2)求曲线过点 P的切线，则 P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后

列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．

2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参

数的方程并解出参数．

(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点在曲线上．

导数与函

数单调性

1、确定函数单调区间的步骤

（1）确定函数 f(x)的定义域．（2）求 f′(x)．

（3）解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．

（4）解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)

在

(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．

3、根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相

应单调区间的子集．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的

任一非空子区间上 f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏

解．

4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和

函数的间断点．

5、个别导数为 0的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝

0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．

导数与函

数

极值、最

1、函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况．先找导数为 0的点，再判断导数为 0的点的

左、右两侧的导数符号．

（2）已知函数求极值．求 f′(x)―→求方程 f′(x)＝0的根―→列表检验 f′(x)在f′(x)

＝0的根的附近两侧的符号―→下结论．

（3）已知极值求参数．若函数 f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则 f′(x0)＝0，且在

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