专题20利用导数研究函数的零点（讲）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 20 利用导数研究函数的零点（讲案）（理）

函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围。高考常考

查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压

轴题出现。处理函数零点的常用方法有以下两种：

1．直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在

(a，b)内有唯一的。

2．分类讨论法：判断几个零点时，需先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存

在性定理，在每个单调区间内取值证明 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)有多个零点。

1．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知函数

，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；

当时，，令，得或．时，；

时，；时，，且，此时在必有零点，

故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；

时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，

即，则，选 C．

2．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数 .

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【分析】（1）当时，，，

令，解得，令，解得，

所以的减区间为，增区间为；

（2）若有两个零点，即有两个解，

从方程可知，不成立，即有两个解，

令，则有，

令，解得，令，解得或，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

而时，，当时，，

所以当有两个解时，有，

所以满足条件的的取值范围是： .

3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围．

【答案】（1）详见解析；(2) .

【分析】（1）由题，，

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

令，得或，所以在上单调递减，在

，上单调递增.

（2）由（1）知，有三个零点，则，且

即，解得，

当时，，且，

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