专题20 平行垂直与空间向量在立体几何中的应用（原卷版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

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20 平行垂直与空间向量在立体几何中的应用

【2022 届新高考一模试题分类汇编】

一、解答题

1．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））如图，四棱锥中，，，，

平面 CDP，E为PC 中点.

(1)证明：平面 PAD；

(2)若平面 PAD，，求二面角的正弦值.

2．（2022·陕西·一模（理））如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，

的中点，为线段上的动点，， .

(1)若，试证；

(2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大.

3．（2022·湖北·一模）如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面

ABCD，PA=AB，E，F分别为线段 PB，BC 上的动点.

(1)若E为线段 PB 的中点，证明：平面 AEF⊥平面 PBC；

(2)若BE=BF，且平面 AEF 与平面 PBC 所成角的弦值为，试确定点 F的位置.

4．（2022·陕西周至·一模（理））如图，在长方体中，､分别是棱､上的点，

，， .

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

5．（2022·河北唐山·一模）如图，直三棱柱中，，为的中点，为

棱上一点， .

(1)求证：平面；

(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

6．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，

，M，N分别是对角线，上异于端点的动点，且 .

(1)求证：直线平面；

(2)当的长最小时，求二面角的余弦值．

7．（2022·河南·模拟预测（文））图 1是由和组成的一个平面图形，其中 PA 是的

高，，，，将和分别沿着 PA，PC 折起，使得与重

合于点 B，G为PC 的中点，如图 2．

(1)求证：PA⊥BC；

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