专题20 平行垂直与空间向量在立体几何中的应用（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）
20 平行垂直与空间向量在立体几何中的应用
【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））如图，四棱锥 中， ， ， ，
平面 CDP，E为PC 中点.
(1)证明： 平面 PAD；
(2)若 平面 PAD， ，求二面角 的正弦值.
【解析】(1)取PD 中点 F，连接 EF，AF
则 且
又 且
所以 且
由四边形 ABEF 是平行四边形，则
又 平面 ， 平面
所以 平面 PAD
(2)因为 平面 PAD∴
又∵ ， ， ∴
取CD 中点 O，连接 PO，BO
∵ 平面 CDP∴ ，又∵ ∴ 平面 ABCD
又∵ ， ∴
以O为坐标原点， ， ， 分别为 x轴，y轴，z轴正方向建立如图坐标系
则 ， ， ，
∴ ，
设 为平面 PAB 的一个法向量.
则 令 则
显然 为平面 PAD 的一个法向量
设 为二面角 的平面角，则
所以
所以二面角 的正弦值
2．（2022·陕西·一模（理））如图，已知直三棱柱 ， ， ， 分别为线段 ， ，
的中点， 为线段 上的动点， ， .
(1)若 ，试证 ；
(2)在（1）的条件下，当 时，试确定动点 的位置，使线段 与平面 所成角的正弦值最大.
【解析】(1)在 中，
∵ 为 中点且 ，
∴.
∵平面 平面 交线为 ，
∴ 平面 ，∴ .
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴.
∴.
在直角 和直角 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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