专题20 【大题限时练20】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 20 大题限时练 20
1．设
{ }
n
a
是集合
{2 2 | 0
t s
s t „
，且
s
，
}t Z
中所有的数从小到大排列成的数列，即
1
3a
，
2
5a
，
3
6a
，
4
9a
，
5
10a
，
6
12a
，
．将
{ }
n
a
各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数
表．
（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由），并求
100
a
；
（2）设
{ }
n
b
是该三角形数表第
n
行的
n
个数之和所构成的数列，求
{ }
n
b
的前
n
项和
．
【答案】（1）
14 8
100
2 2 16640a  
；（2）
1
1 1
4(1 2 )
( 1) 2 4 2
1 2
n
n n
n
S n n n n
 
   
【详解】（1）第四行：17 18 20 24，
第五行：33 34 36 40 48，
在该三角形数表中第
t
行中有
t
个数，其中第
1s
个数为
2 2
t s
，
设
0 0
100
2 2
t s
a 
，则
0 0 0 0
0 0
0
(1 1)( 1) (1 )
100
2 2
(1 1)( 1)
100 1
2
t t t t
t t s
 
 
 
„
，解得
0
0
14
8
t
s
，
从而
14 8
100
2 2 16640a  
．
（2）
0 1 2 1
1(1 2 )
2 (2 2 2 2 ) 2 ( 1)2 1
1 2
n
n n n n
n
b n n n
  
，
故
1 2 3
2 2 3 2 4 2 ( 1) 2
n
n
S n n  
，
2 3 4 1
2 2 2 3 2 4 2 ( 1) 2 2
n
n
S n n
  
，
从而
1
1 1
4(1 2 )
( 1) 2 4 2
1 2
n
n n
n
S n n n n
 
   
．
2．在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
(3 cos ) tan sin
2
B
A A 
，
ABC
的周长为 8．
（1）求
b
；
（2）求
ABC
面积的最大值．
【答案】（1）
2b
；（2）
2 2
【详解】（1）因为
(3 cos ) tan sin
2
B
A A 
，
所以
2
(3 cos )2sin cos sin 2cos
2 2 2
B B B
A A  
，
所以
sin (3 cos ) sin (1 cos )B A A B 
，
化简得
3sin sin sin cos sin cos sin sin( )B A B A A B A A B   
，
又因为
A B C
 
，故
3sin sin sin[ ( )] sin sinB A A B A C
 
，
在
ABC
中，由正弦定理得
sin sin sin
a b c
A B C
 
，故
3b a c 
，
从而
4 8a b c b  
，即
2b
；
（2）由于
6 2a c ac …
，所以
9ac„
，当且仅当
3a c 
时等号成立，
而
1sin
2
ABC
S ac B
，在
ABC
中，由余弦定理得
2 2 2
cos 2
a c b
Bac
 
，
故
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
sin (1 cos ) [1 ( ) ]
4 4 4 2
ABC
a c b
S a c B a c B a c ac
 
 
2 2
2 2 2
1 ( ) 2
[1 ( ) ] 8 64 8
4 2
a c ac b
a c ac
ac
 
„
，
所以
2 2
ABC
S„
，故
ABC
面积的最大值为
2 2
．
3．数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”问题，题意如下：“如图 1，两塔，相距
**
步，高分别为
**
步和
**
步．两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟．两鸟同时自塔顶出发，沿直线飞往喷泉，
同时抵达（假设两鸟速度相同）．求两塔与喷泉中心之距．”如图 2，现有两塔
AC
、
BD
，底部
A
、
B
相
距12 米，塔
AC
高3米，塔
BD
高9米．假设塔与地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内．
（1）若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所在点
M
，求喷
泉距塔底
A
的距离；
（2）若塔底
A
、
B
之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶
C
出发，飞抵水面
A
、
B
之间的某点
P
处饮水之后，飞到对面的塔顶
D
处．求当小鸟飞行距离最短时，饮水点
P
到塔底
A
的距离．
【答案】（1）9米；（2）
3m
【详解】（1）设
MA x
米，则
(12 )MB x 
米，
于是
2
9CM x 
，
2 2
(12 ) 9DM x  
，
由题意可知
CM DM
，故
2 2
9 (12 ) 81x x 
，
解得：
9x
米，
故喷泉距塔底
A
的距离为 9米．
（2）设
C
关于水面
AB
的对称点为
，则
PC PC 
，连接
DC
，
故
PC PD
的最小值为
2 2
12 (3 9) 12 2DC 
，
设
DC
交
AB
于
P
，设
PA x
，则
12PB x 
，
2
9PC x  
，
2
(12 ) 81PD x  
，
2 2
9 (12 ) 81 12 2x x  
，
解得：
3x
，
故当小鸟飞行距离最短时，饮水点
P
到塔底
A
的距离为
3m
．
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