专题19利用导数证明不等式（讲）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 19 利用导数证明不等式（讲）（理）

导数中的不等式证明经常被考查，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽

然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采

用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果。考查重点是用导数证明不等式问题，此类问题难

度属于中高档，一般以解答题的形式出现。

1.（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数，已知是函数

的极值点．

（1）求 a；

（2）设函数．证明:．

【答案】1；证明见详解

【分析】（1）由，，

又是函数的极值点，所以，解得；

（2）由（1）得，，且，

当时，要证，，，即证

，化简得；

同理，当时，要证，，，即证

，化简得；

令，再令，则，，

令，，

当时，，单减，假设能取到，则，故；

当时，，单增，假设能取到，则，故；

综上所述，在恒成立

2．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数 .

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明： .

【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.

【分析】（1）函数的定义域为，

又，

当时，，当时，，

故的递增区间为，递减区间为 .

（2）因为，故，即，

故，

设，由（1）可知不妨设 .

因为时，，时，，

故.

先证：，

若，必成立.

若，要证：，即证，而，

故即证，即证：，其中 .

设，

则，

因为，故，故，

所以，故在为增函数，所以，

故，即成立，所以成立，

综上，成立.

设，则，

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