专题19 【大题限时练19】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（原卷版）

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专题 19 大题限时练 19
1．若数列
{ }
n
a
满足
1
1a
，且存在常数
1k
，使得对任意的
*
n N
都有
1
1
n n n
a a ka
k
„ „
，则称数列
{ }
n
a
为“
k
控数列”．
（1）若公差为
的等差数列
{ }
n
a
是“2控数列”，求
的取值范围；
（2）已知公比为
( 1)q q
的等比数列
{ }
n
b
的前
n
项和为
n
S
，数列
{ }
n
b
与
n
S
都是“
k
控数列”，求
q
的取值
范围（用
k
表示）．
2． 在
ABC
中 ， 内 角
A
，
B
，
C
的 对 边 分 别 为
a
，
b
，
c
， 请 在 ①
cos 3 sinb b C c B 
；②
(2 ) cos cosb a C c A 
；③
2 2 2 4 3
3ABC
a b c S
  
这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（1）求
C
；
（2）若
5a
，
7c
，延长
CB
到
D
，使
21
cos 7
ADC 
，求线段
BD
的长度．
3．如图，在水平桌面上放置一块边长为 1的正方形薄木板
ABCD
．先以木板的
AD
边为轴，将木板向上缓
慢转动，得到平面
1 1
AB C D
，此时
1
B AB
的大小为
(0 )
2
 
 
．再以木板的
1
AB
边为轴，将木板向上缓慢
转动，得到平面
1 2 1
AB C D
，此时
211
C B C
的大小也为
．
（1）求整个转动过程木板扫过的体积；
（2）求平面
1 2 1
AB C D
与平面
ABCD
所成锐二面角的余弦值．
4．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出
*
(n n N
且
4)n…
瓶外观相同但
品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其
品尝这
n
瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度
的高低为其评分．现分别以
1
a
，
2
a
，
3
a
，
，
n
a
表示第一次排序时被排在 1，2，3，
，
n
的
n
种酒在第
二次排序时的序号，并令
1 2 3
|1 | | 2 | | 3 | | |
n
X a a a n a  
，则
X
是对两次排序的偏离程度的一
种描述．
（1）证明：无论
n
取何值，
X
的可能取值都为非负偶数；
（2）取
4n
，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，
1
a
，
2
a
，
3
a
，
4
a
等可能地为 1，2，3，4的
各种排列，且各轮测试相互独立．
①求
X
的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有
2X„
，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这
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