专题19 【大题限时练19】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 19 大题限时练 19
1．若数列
{ }
n
a
满足
1
1a
，且存在常数
1k
，使得对任意的
*
n N
都有
1
1
n n n
a a ka
k
„ „
，则称数列
{ }
n
a
为“
k
控数列”．
（1）若公差为
的等差数列
{ }
n
a
是“2控数列”，求
的取值范围；
（2）已知公比为
( 1)q q
的等比数列
{ }
n
b
的前
n
项和为
n
S
，数列
{ }
n
b
与
n
S
都是“
k
控数列”，求
q
的取值
范围（用
k
表示）．
【答案】（1）
[0
，
；（2）
1
[qk
，
1]k
【 详 解 】 （ 1） 因 为 公 差 为
的 等 差 数 列
{ }
n
a
是 “ 2控 数 列 ” ， 所 以
1
1a
， 所 以
1 ( 1)
n
a n d 
，
1
12
2
n n n
a a a
„ „
，
*
n N
，
即
1[1 ( 1) ] 1 2[1 ( 1) ]
2n d nd n d   „ „
，
*
n N
，
所以
*
*
( 1) 1,
( 2) 1,
n d n N
n d n N
 
 
…
…
，
由
( 1) 1n d …
得
1
1
dn
…
，又
1 1
[ .0]
1 2n
 
，所以
0d…
，由
( 2) 1n d …
得：
当
1n
时，
1d …
，所以
1d„
；当
2n
时，
0 1…
成立；
当
3…
时，
1
2
dn
…
又
1[ 1
2n
 
，
0)
，所以
0d…
；
综上，
0 1d„ „
，所以
的取值范围是
[0
，
；
（2）因为数列
{ }
n
b
是公比为
( 1)q q
的等比数列且为“
k
控数列”，所以
1
1
n n n
b b kb
k
„ „
，显然
0
n
b
，故
1q k
k„ „
，
易知
1
1
n
n
q
Sq
，要使
{ }
n
S
是“
k
控数列”，则得
1
1 1 1 1
1 1 1
n n n
q q q
k
k q q q
 
 
 
„ „
，
*
n N
（1）
11q
k„ „
时，
1
1 1
1
n
n
qk
k q
„ „
，
*
k N
，
令
1
1 1
( ) 1 1
n
n n
q q
f n q
q q
 
 
 
，
*
n N
，则
( )f n
单调递减，所以
1 ( ) 1f n q „
，
所以
1k q …
，即故
11q k
k„ „
．
要使
q
存在，则
1
11
k
k
k
„
得
5 1
2
k
…
（2）当
1q k„
时，
1
1 1
1
n
n
qk
k q
„ „
，
*
n N
，
令
1
1 1
( ) 1 1
n
n n
q q
g n q
q q
 
 
 
，
*
n N
，则
( )g n
递减，
( ) 1q g n q „
，
所义：
1
11
k
q
k
…
又
1q k 
，所以
1 1q k  
，
要使
q
存在，需
1 1k 
，得
2k
，
综上，当
5 1
2
k
…
时，公比
q
的取值范围是
1
[k
，
1]k
．
故答案为：
1
[qk
，
1]k
．
2． 在
ABC
中 ， 内 角
A
，
B
，
C
的 对 边 分 别 为
a
，
b
，
c
， 请 在 ①
cos 3 sinb b C c B 
；②
(2 ) cos cosb a C c A 
；③
2 2 2 4 3
3ABC
a b c S
  
这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（1）求
C
；
（2）若
5a
，
7c
，延长
CB
到
D
，使
21
cos 7
ADC 
，求线段
BD
的长度．
【答案】见解析
【详解】（1）选①：由正弦定理知，
sin sin sin
a b c
A B C
 
，
cos 3 sinb b C c B 
，
sin sin cos 3 sin sinB B C B C 
，
(0, )B
，
1 cos 3 sinC C 
，即
1
sin( )
6 2
C
 
，
(0, )C
，
(
6 6
C
 
 
，
5)
6
，
6 6
C
 
 
，即
3
C
．
选②：由正弦定理知，
sin sin sin
a b c
A B C
 
，
(2 ) cos cosb a C c A 
，
(2sin sin )cos sin cosB A C C A 
，
2sin cos sin( ) sinB C A C B  
，
(0, )B
，
1
cos 2
C 
，
(0, )C
，
3
C
 
．
选③：
2 2 2 4 3 4 3 1 2 3
sin sin
3 3 2 3
ABC
a b c S ab C ab C
  
，
由余弦定理知，
2 2 2 3
cos sin
2 3
a b c
C C
ab
 
 
，
(0, )C
，
3
tan 3
C 
，
3
C
 
．
（2）在
ABC
中，由余弦定理知，
2 2 2
cos 2
a b c
Cab
 
，
2
1 25 49
2 2 5
b
b
 
，化简
25 24 0b b 
，解得
8b
或
3
（舍负），
由正弦定理知，
sin sin
b c
ABC C
，
8 7
sin sin 3
ABC
，
4 3
sin 7
ABC 
，
所以
4 3
sin sin 7
ABD ABC  
，
而
2 2
21 2 7
sin 1 1 ( )
7 7
ADC cos ADC  
，
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