专题14抛物线焦点弦及相关应用（讲）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 14 抛物线焦点弦及相关应用（讲）（理）

考查重点是抛物线焦点弦性质问题，此类问题难度属于中档，一般以选择填空解答题的形式

出现。

1．【2021·浙江高考真题】如图，已知 F是抛物线

 

2 0y px p 

的焦点，M是抛物线的准线与

x轴的交点，且

2MF 

，

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点 F的直线交抛物线与 A､B两点，斜率为 2的直线 l与直线

, ,MA MB AB

，x轴依次交于

点P，Q，R，N，且

RN PN QN 

，求直线 l在x轴上截距的范围.

【答案】（1）

4y x

；（2）

 

, 7 4 3 7 4 3,1 1,

 

     

 

 

【分析】（1）求出

的值后可求抛物线的方程.

（2）设

: 1AB x ty 

，

   

1 1 2 2

, , ,A x y B x y

，

 

,0N n

，联立直线

的方程和抛物线的方程后可

得

1 2 1 2

4, 4y y y y t   

，求出直线

,MA MB

的方程，联立各直线方程可求出

, ,

P Q R

y y y

，根据题设

条件可得

 

1 3 4

12 1

n t

 

  

 



  

，从而可求

的范围.

【详解】（1）因为

2MF 

，故

2p

，故抛物线的方程为：

4y x

（2）设

: 1AB x ty 

，

   

1 1 2 2

, , ,A x y B x y

，

 

,0N n

，

所以直线

l x n 

，由题设可得

1n

且

t

由

x ty

y x

 







可得

4 4 0y ty  

，故

1 2 1 2

4, 4y y y y t   

，

因为

RN PN QN 

，故

1 1 1

1+ 1+ 1+

4 4 4

R P Q

y y y

   

 

 

，故

R P Q

y y y 

又

 

: 1

MA y x

 



，由

 

y x

x n

 







 





可得

 

1 1

2 1

2 2

n y

yx y



 

，

同理

 

2 2

2 1

2 2

n y

yx y



 

，

由

x ty

x n

 





 





可得

 

2 1





，

所以

     

2 1

2 2 1 1

2 1 2 1 2 1

2 1 2 2 2 2

n n y n y

t x y x y

    

 

    

 

，

整理得到

    

21 2

2 2 1 1

12 1

1 2 2 2 2

y y

n x y x y



   

 

    

 

，

 

2 2

2 1

4 2 1

2 2

y y



  

   

  

  

 

   

 

2 2

2 2 2

2 1 2 1

2 1 2 1 1 2 2 1

4 2 1 2 1

3 4

+ + 2 + 4

4 2

t t

y y y y

y y y y y y y y

 

  

    

故

 

1 3 4

12 1

n t

 

  

 



  

，

令

2 1s t 

，则

t



且

0s

，

故

 

2 2

22 2

3 4 2 4 2 4 1 1 3 3

1+ 4 4 4 4

2 1

t s s

s s s s

    

      

 

 



，

故

1 3

1 4



  

 



 





即

14 1 0

n n

  





，

解得

7 4 3n  

或

7 4 3 1n   

或

1n

故直线

在

轴上的截距的范围为

7 4 3n  

或

7 4 3 1n   

或

1n

【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假

设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复

杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.

2．【2021·全国高考真题（理）】已知抛物线

 

: 2 0C x py p 

的焦点为

，且

与圆

2 2

: ( 4) 1M x y  

上点的距离的最小值为

．

（1）求

；

（2）若点

在

上，

,PA PB

是

的两条切线，

,A B

是切点，求

PAB△

面积的最大值．

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