专题13 概率综合题-备战2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（解析版）

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专题 13 概率综合题

1．（2021•湖南模拟）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，

国际上常用身体质量指数，缩写来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式

是

中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；

为肥胖．

为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了 8名员工（编号的身高

和体重数据，并计算得到他们的值（精确到如表：

编号 1 2 3 4 5 6 7 8

（近似值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6

（Ⅰ）现从这 8名员工中选取 2人进行复检，记抽取到值为“正常”员工的人数为，求的分布

列及数学期望．

（Ⅱ）某调查机构分析发现公司员工的身高和体重之间有较强的线性相关关系，调查员甲对这

8人的体检数据进行分析，计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预报一名身

高为的员工体重为，计算得到的其他数据如下：，．

（1）求的值及抽取 8人体重数据的平均值；

（2）调查员乙代替甲继续数据处理时，发现编号为 8的员工体重数据有误，应增加，其身高数据

无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为的员工

的体重．

附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘

法估计分别为：，．

【答案】见解析

【详解】由表中的数值可知，8名员工中数值为“正常”的员工有 5人，所以的可能取值

为0，1，2，

，，，

的分布列为

0 1 2

数学期望．

（1）根据回归方程预估一名身高为的员工体重为，

，解得，故线性回归方程为．

样本中心点，一定在回归直线方程上，

．

（2）（2）由（1）知更正前的数据，，

，

更正后的数据，，

，，

，

故更正后的线性回归方程为．

当时，，

重新预估一名身高为的员工的体重约为．

2．（2021•湖南模拟）《中国制造 2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于 2015 年5月印发的部署

全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济

的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制

造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分

布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，

其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取

1000 件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数；

（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数作为的近似值，

用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点

值代表）

参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，

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