专题12 数列综合-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（原卷版）
专题 12 数列综合
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】记
Sn
为数列
{an}
的前
n
项和，已知
a1=1
，
{
Sn
an
}
是公差为
1
3
的等差数列．
(1)
求
{an}
的通项公式
;
(2)
证明：
1
a1
+1
a2
+⋯+1
an
<2
．
【母题来源】2022 年新高考 II 卷
【母题题文】
已知
{an}
为等差数列，
{bn}
为公比为
2
的等比数列，且
a2−b2=a3−b3=b4−a4
．
(1)
证明：
a1=b1;
(2)
求集合
{k∨bk=am+a1,1≤m≤500 }
中元素个数．
【命题意图】
考察等差、等比数列的通项公式，考察数列前 n 项和，考察数列求和方法，考察列项相消的求和方法，考
察根据数列的递推公式求通项公式，考察数列和指数不等式、集合元素个数等综合知识
【命题方向】
数列是高考考察热点之一，其中等差、等比数列通项公式及其求和，以及与等差、等比有关的错位相消求
和及裂项相消求和，是考察的重点。作为数列综合题，常和方程】不等式】函数等结合，涉及到恒成立，
存在，最值，解不等式或者证明不等式等等，对于基础能力和基础运算要求较高。
【得分要点】
一、对于公式
（1）当 时，用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 便可求出当
时 的表达式；
（2）当 时， 求出 ；
（3）对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式
合写；如果不符合，则应该分 与 两段来写．
二、错位相消法
以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方
法。
1.思维结构结构图示如下
2.公式型记忆：
3.可裂项为如下
三、裂项相消思维
四、分组求和法
，其中 bn 和cn 都是容易求和的数列
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2025-05-28 113
作者：envi
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