专题12 数列综合-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）

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专题 12 数列综合
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】记
Sn
为数列
{an}
的前
n
项和，已知
a1=1
，
{
Sn
an
}
是公差为
1
3
的等差数列．
(1)
求
{an}
的通项公式
(2)
证明：
1
a1
+1
a2
+⋯+1
an
<2
．
【答案】解：
(1)Sn
an
=S1
a1
+1
3(n−1)= n+2
3
⇒Sn=n+2
3an①;
∴Sn+1=n+3
3an+1②;
由
②−①
得：
an+1=n+3
3an+1−n+2
3an⇒an+1
an
=n+2
n;
∴
当
n⩾2
且
n∈N¿
时，
an
a1
=an
an−1
⋅an−1
an−2
⋯a3
a2
⋅a2
a1
=n+1
n−1⋅n
n−2
⋯5
3⋅4
2⋅3
1=(n+1)n
2
⇒an=n(n+1)
2
，
又
a1=1
也符合上式，因此
an=n(n+1)
2(n∈N¿);
(2)∵1
an
=2
n(n+1)=2(1
n−1
n+1)
，
∴1
a1
+1
a2
+⋯+1
an
=2(1
1−1
2+1
2−1
3+⋯+1
n−1
n+1)=2(1−1
n+1)<2
，
即原不等式成立．
【母题来源】2022 年新高考 II 卷
【母题题文】
已知
{an}
为等差数列，
{bn}
为公比为
2
的等比数列，且
a2−b2=a3−b3=b4−a4
．
(1)
证明：
a1=b1;
(2)
求集合
{k∨bk=am+a1,1≤m≤500 }
中元素个数．
【答案】解：
(1)
设等差数列
{an}
公差为
d
由
a2−b2n=a3−b3
，知
a1+d−2b1=a1+2d−4b1
，故
d=2b1
曲
a2−b2=b4−a4
，知
a1+d−2b1=8b1−(a1+3d)
，
故
a1+d−2b1=4d−(a1+3d);
故
a1+d−2b1=d−a1
，整理得
a1=b1
，得证．
(2)
由
(1)
知
d=2b1=2a1
，由
bk=am+a1
知：
b1⋅2k−1=a1+(m−1)⋅d+a1
即
b1⋅2k−1=b1+(m−1)⋅2b1+b1
，即
2k−1=2m
，
因为
1≤m <500
，故
2≤2k−1≤1000
，解得
2≤ k ≤ 10
，
故集合
{k∨bk=am+a1,1≤m≤500 }
中元素的个数为
9
个．
【命题意图】
考察等差、等比数列的通项公式，考察数列前 n 项和，考察数列求和方法，考察列项相消的求和方法，考
察根据数列的递推公式求通项公式，考察数列和指数不等式、集合元素个数等综合知识
【命题方向】
数列是高考考察热点之一，其中等差、等比数列通项公式及其求和，以及与等差、等比有关的错位相消求
和及裂项相消求和，是考察的重点。作为数列综合题，常和方程】不等式】函数等结合，涉及到恒成立，
存在，最值，解不等式或者证明不等式等等，对于基础能力和基础运算要求较高。
【得分要点】
一、对于公式
（1）当 时，用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 便可求出当
时 的表达式；
（2）当 时， 求出 ；
（3）对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式
合写；如果不符合，则应该分 与 两段来写．
二、错位相消法
以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方
法。
1.思维结构结构图示如下
2.公式型记忆：
3.可裂项为如下
三、裂项相消思维
四、分组求和法
，其中 bn 和cn 都是容易求和的数列
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