专题12 立体几何综合题-备战2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（原卷版）

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专题 12 立体几何综合题
1．（2021•湖南模拟）如图，已知直三棱柱
2 2 2
ABC A B C
的底面为正三角形，侧棱长都为 4，
1
A
、
1
B
、
1
C
分别在棱
2
AA
、
2
BB
、
2
CC
上，且
1 2
1A A
，
，
，过
AB
，
AC
的中点
M
，
N
且与直线
2
AA
平行的平面截多面体
1 1 1 2 2 2
A B C A B C
所得的截面
DEFG
为该多面体的一个中截面．
（1）证明：中截面
DEFG
是梯形；
（2）若直线
1 1
A C
与平面
2 2 2
ABC
所成的角为
45
，求平面
1 1 1
A B C
与平面
2 2 2
A B C
所成锐二面角的大小．
2． （ 2021• 湖 南模 拟 ） 在 多 面体
中 ， 平 面
ACDE
平 面
ABC
， 四 边 形
ACDE
为 直 角 梯 形 ，
/ /CD AE
，
AC AE
，
AB BC
，
1CD
，
2AE AC 
，
F
为
DE
的中点，且点
E
满足
4EB EG
              
．
（1）证明：
/ /GF
平面
ABC
；
（2）当多面体
ABCDE
的体积最大时，求二面角
A BE D 
的余弦值．
3．（2021•湖南模拟）如图，在四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
是平行四边形，侧面
PBC
是等边三角
形，
2AD AB
，
45BCD  
，面
PBC
面
ABCD
，
E
、
F
分别为
BC
、
CD
的中点．
（1）证明：面
PEF
面
PAB
；
（2）求面
PEF
与面
PAD
所成锐二面角的余弦值．
4．（2021•湖南模拟）如图，在四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
是菱形，
60BAD  
，
AC PB
，
2 2PB AB PD 
．
（1）证明：
PD
平面
ABCD
．
（2）求二面角
D PB C 
的余弦值．
5．（2021•湖南三模）如图，在四棱台
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，底面为矩形，平面
1 1
AA D D
平面
1 1
CC D D
，
且
1 1 1 1
11
2
CC CD DD C D 
．
（1）证明：
AD
平面
1 1
CC D D
；
（2）若
1
A C
与平面
1 1
CC D D
所成角为
3
，求二面角
1
C AA D 
的余弦值．
6．（2021•湖南模拟）在如图所示的圆柱
1 2
O O
中，
AB
为圆
1
O
的直径，
C
，
D
是
AB
的两个三等分点，
EA
，
FC
，
GB
都是圆柱
1 2
O O
的母线．
（1）求证：
1
/ /FO
平面
ADE
；
（2）若
2BC FC 
，求二面角
B AF C 
的余弦值．
7．（2021•岳麓区校级二模）如图，在四棱锥
P ABCD
中，
/ /AB CD
，
90ABC  
，
1AB BC 
，
PDC
是边长为 2的等边三角形，平面
PDC
平面
ABCD
，
E
为线段
PC
上一点．
（1）设平面
PAB
平面
PDC l
，证明：
/ /l
平面
ABCD
；
（2）是否存在这样点
E
，使平面
ADEF
与平面
ABCD
所成角为
60
，如果存在，求
| |
| |
CE
CP
的值；如果不存
在，请说明理由．
8．（2021•湖南模拟）如图所示，
ABC
是等边三角形，
/ /DE AC
，
/ /DF BC
，二面角
D AC B 
为直
二面角，
2 2AC CD AD DE DF   
．
（1）求证：
EF BC
；
（2）求平面
ACDE
与平面
BEF
所成锐二面角的正切值．
9．（2021•岳阳一模）如图所示的几何体中，
BE BC
，
EA AC
，
2BC
，
2 2AC
，
45ACB  
，
/ /AD BC
，
2BC AD
．
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