专题10 利用导数解决双变量问题（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 952.88KB 16 页 3知币
侵权投诉
10 利用导数解决双变量问题
【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 f(x)＝x－alnx
(1)求函数 f(x)的极值点；
(2)若方程 有 2个不等的实根 ，证明： .
【解析】 (1)f(x)的定义域是 ，求导得 ，
当 ， ，函数 f(x)没有极值点；
当 时，令 ，得
在(0，a)上， ，f(x)单调递减，在 上， ，f(x)单调递增，
∴函数 f(x)有极小值点 ，无极大值点；
(2)由(1)知方程 有 2个不等的实根 时，f(x)在定义域上不单调，一定有
，在(0，a)上f(x)单调递减，在 上 f(x)单调递增，不妨设 ，
令 ，
∵，
∴，
由 得 ，∴ ，
∴g(x)在(0，a)上单调递减，∴ ，
即 ，
结合题设有 ，
∵，而 f(x)在 上单调递增，
∴，即 .
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ．
(1)求 的单调区间和极值；
(2)若对一切 ， ，求 的最大值．
【解析】 (1)因为 定义域为 ，所以 ，
当 时， ；
当 或 时， ．
故 在 单调递增，在 和 单调递减．函数在 处取得极小值，
在 处取得极大值，所以 的极小值 ，极大值 ．
(2)由 知 ，
即 ．
由此及（1）知 的最大值为 1，最小值为 ．
因此对一切 ， 的充要条件是
即 ， 满足约束条件 ，画出可行域如下所示：
令 ，则 ，由 ，解得 ，即 ，当直线
过点 时， 取得最大值，即 ，即 的最大值为 ．
3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ，当 时，
恒成立．
(1)求实数 a的最大值；
(2)若 ，证明：对任意 ， ．
【解析】 (1) ， ，记 ，
若 ，则 ，当且仅当 x=1 时取“=”，所以
，函数 在 上单调递增，所以 ，满足题意；
若 ，令 （另一个根
专题10 利用导数解决双变量问题（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）.docx

共16页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：16 页 大小：952.88KB 格式：DOCX 时间：2025-03-06

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 16
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注