专题10 立体几何中的体积问题（原卷版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题 10：立体几何中的体积问题（原卷版）
⑴ 圆柱侧面积；
S侧面=2π⋅r⋅l
⑵圆锥侧面积：
S侧面=π⋅r⋅l
⑶ 圆台侧面积：
S侧面=π⋅r⋅l+π⋅R⋅l
V柱体=S⋅h
V锥体=1
3
S⋅h
球的表面积和体积
S球=4πR2，V球=4
3
πR3
.
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是
的中点.
（1）求证： ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
2．如图所示：在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
且 ， 分别为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
3．如图所示，四棱锥的底面 是一个矩形， 与 交于点 ， 是四棱
锥的高.若 ， ， ，求四棱锥的体积.
4．如图，四棱锥 的底面是边长为 2的菱形， 底面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥 的体
积.
5．如图，在边长为 2 的菱形 中， ，现将 沿 边折到
的位置．
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 体积的最大值．
6．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ，
， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积.
7．如图所示，在长方体 中，求棱锥 的体积与长方体的
体积之比.
8．如图，过圆柱的两条母线 和 的截面 的面积为 S，母线 的长为
l， ，求此圆柱的体积.
9．如图所示的多面体中,四边形 是菱形、 是矩形， 面 ，
.
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