专题10 【大题限时练10】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 10 大题限时练 10

1．设正项数列

{ }

的前

项和为

，

n n n

S a a 

．

（1）求数列

{ }

的通项公式；

（2）求证：

2 2

1 1

1 2

ii i

a a





 



．

【答案】（1）

a n

；（2）见解析

【详解】（1）当

1n

时，

1 1

a S

，由

n n n

S a a 

，得

1 1

( 1) 0a a  

．

因为数列

{ }

为正项数列，所以

10a

，所以

1a

．

因为当

1n…

时，

n n n

S a a 

，



①

所以当

2n…

时，

1 1 1

n n n

S a a

  

 

，



②

①



②，得

2 2

1 1 1

2 2

n n n n n n

S S a a a a

  

    

，

即

2 2

1 1

n n n n n

a a a a a

 

   

，

所以

1 1 1

( )( )

n n n n n n

a a a a a a

  

   

，

因为数列

{ }

的各项均正，所以

n n

a a



 

，

所以当

2n…

时，

n n

a a



 

，

故数列

{ }

是公差为 1的等差数列，

故数列

{ }

的通项公式为

a n

；

（2）证明：

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

( )

1 ( 1) 1 2 ( 1) 2 1

i i

a a i i i i i i



   

      

，

则

2 2

1 1 1 1 1 1 1

[(1 ) ( ) ( )]

1 2 2 2 3 1

ii i

a a n n



      

  



1 1 1

(1 )

2 1 2n

  



．

2．在

ABC

中，角

，

的对边分别为

，

3A B C 

．

（1）求

sin C

的取值范围；

（2）若

6c b

，求

sin C

的值．

【答案】（1）

(0, )

；（2）

sin 3

C

【详解】（1）由

3A B C 

及

ABC



  

，得

2 4B C



 

，

所以

B C



 

，所以

A C



 

．

由

0 ,

0 ,0 ,

B C



 

 



   



得

0 ,

0 2 ,0 ,

C C



 

  





    





得



 

，

故

sin C

的取值范围为

(0, )

．

（2）若

6c b

，由正弦定理有

sin 6sinC B

，①

由（1）知

B C



 

，则

sin sin( 2 ) cos 2

B C C



  

．②

由①②得

1sin cos 2 1 2sin

6C C C  

，所以

12sin sin 6 0C C  

，

解得

sin 3

C

或

sin 4

C 

，

又

sin (0, )

C

，

所以

sin 3

C

．

3．如图，在四棱锥

P ABCD

中，底面

ABCD

为正方形，

PD 

底面

ABCD

，

为线段

的中点，

PD AD

，

为线段

上的动点．

（1）证明：平面

MND 

平面

PBC

；

（2）当点

在线段

的何位置时，平面

MND

与平面

PAB

所成锐二面角的大小为

30

？指出点

的位置，

并说明理由．

【答案】见解析

【详解】（1）证明：因为

PD 

底面

ABCD

，

BC 

面

ABCD

，所以

PD BC

，

又

CD BC

，

PD CD D



，

、

CD 

平面

PCD

，

所以

BC 

平面

PCD

，

又

DM 

平面

PCD

，所以

BC DM

，

因为

PD AD CD 

，且

为

的中点，

所以

DM PC

，

又

PC BC C



，

、

BC 

平面

PBC

，

所以

DM 

平面

PBC

，

因为

DM 

平面

MND

，

所以平面

MND 

平面

PBC

．

（2）解：设

1PD AD 

，

以

为原点，分别以



，



，



方向为

，

轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则

(0D

，0，

，

(1A

，0，

，

(1B

，1，

，

(0P

，0，

，

(0M

，

所以

( 1,0,1)AP  



，

(0,1,0)AB 



，

1 1

(0, , )

2 2

DM 



，

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